Question

【題目】閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖①，我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來得到的四邊形是平行四邊形嗎？

小敏在思考問題，有如下思路：連接．

結(jié)合小敏的思路作答．

（1）若只改變圖①中四邊形的形狀（如圖②），則四邊形還是平行四邊形嗎？說明理由；

（參考小敏思考問題方法）

（2）如圖②，在（1）的條件下，若連接．

①當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形，寫出結(jié)論并證明；

②當(dāng)與滿足____時(shí)，四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）①AC⊥BD，證明見解析；②AC⊥BD且AC=BD

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EF∥AC，EF=AC，然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

②在①基礎(chǔ)上，只要證明∠EHG=90°即可；

解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：
如圖2，連接AC，
∵E是AB的中點(diǎn)，F是BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，

綜上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；
理由如下：
同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH為矩形；

②結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．
理由：由①可知，AC=BD，四邊形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，AC∥HG，
∴HG⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EH⊥HG，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．