【題目】如圖,已知拋物線C1:y=x2﹣2x﹣,與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,已知M(4,0),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),其橫坐標(biāo)為6,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求S△ABC.
(2)點(diǎn)E、F是拋物線對稱軸上的兩動(dòng)點(diǎn),且已知E(2,a+)、F(2,a),當(dāng)a為何值時(shí),四邊形PEFM周長最?并說明理由.
(3)將拋物線C1繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2沿直線CD平移,平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)Q,頂點(diǎn)為R,平移后是否存在這樣的拋物線,使△CRQ為等腰三角形?若存在,請求出此時(shí)拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)S=3+;(2)a=;(3)當(dāng)a=2時(shí),拋物線解析式為y(x﹣2)2﹣2;當(dāng)a=﹣2+2時(shí),拋物線解析式為y(x+2﹣2)2+2﹣2.
【解析】
(1)對于拋物線C1,令x=0及y=0,分別求出y與x的值,確定出C,A,B坐標(biāo),得到AB與OC的長,即可求出三角形ABC面積;
(2)如圖所示,作M關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)O,將點(diǎn)O向上平移個(gè)單位得到M′,連接PM′,與對稱軸交于點(diǎn)F,此時(shí)四邊形PEFM周長最小,求出M′與P坐標(biāo),利用待定系數(shù)法確定出直線M′P解析式,令x=2求出y的值,即可確定出此時(shí)a的值;
(3)根據(jù)題意,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)確定出拋物線C2與直線CD解析式,再利用平移性質(zhì)確定出拋物線C2平移后的解析式,表示出C,R,Q坐標(biāo),進(jìn)而表示出CR2,CQ2,RQ2,根據(jù)CR2=CQ2;CR2=RQ2;CQ2=RQ2,分別求出a的值即可.
(1)對于拋物線C1:yx2﹣2x,令x=0,得到:y,即C(0,),令y=0,得到:x2﹣2x0,解得:x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),則S[(3)﹣(1)];
(2)如圖所示,作M關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)O,將點(diǎn)O向上平移個(gè)單位得到M′,連接PM′,與對稱軸交于點(diǎn)F,此時(shí)四邊形PEFM周長最小,易得M′(0,),P(6,6),設(shè)直線PM′解析式為y=kx+b,把M′與P坐標(biāo)代入得:,解得:,∴y,令x=2,得到:y,∴a,解得:a;
(3)易得拋物線C1:y(x﹣2)2﹣2,旋轉(zhuǎn)180°后拋物線C2:y(x﹣2)2﹣2,直線CD解析式為y=﹣x,設(shè)拋物線C2平移后的關(guān)系式為y(x﹣a)2﹣a,易得C(0,),R(a,﹣a),Q(0,a2﹣a),CR2=a2+a2,CQ2=a2(a+1)2,RQ2=a2a4,分三種情況討論:
①當(dāng)CR2=CQ2時(shí),得到:a2+a2=a2(a+1)2,解得:a=﹣2+2或a=﹣2﹣2(舍去);
②當(dāng)CR2=RQ2時(shí),得到:a2+a2=a2a4,解得:a=2或a=﹣2(舍去);
③當(dāng)RQ2=CQ2時(shí),得到:a2(a+1)2=a2a4,解得:a=0(舍去).
綜上所述:當(dāng)a=2時(shí),拋物線解析式為y(x﹣2)2﹣2;當(dāng)a=﹣2+2時(shí),拋物線解析式為y(x+2﹣2)2+2﹣2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中.AC=BC=5.AB=6.CD是AB邊中線.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2.5個(gè)單位長度的速度沿C-D-C運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí),點(diǎn)Q也從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示CP、CQ的長度.
(2)用含t的代數(shù)式表示△CPQ的面積.
(3)當(dāng)△CPQ與△CAD相似時(shí),直接寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù),當(dāng)其自變量的值為時(shí),其函數(shù)值等于,則稱為這個(gè)函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時(shí),該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差稱為這個(gè)函數(shù)的不變長度.特別地,當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí),其不變長度為零.例如,圖1中的函數(shù)有0,1兩個(gè)不變值,其不變長度等于1.
(1)分別判斷函數(shù),有沒有不變值?如果有,請寫出其不變長度;
(2)函數(shù)且,求其不變長度的取值范圍;
(3)記函數(shù)的圖像為,將沿翻折后得到的函數(shù)圖像記為,函數(shù)的圖像由和兩部分組成,若其不變長度滿足,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某店只銷售某種進(jìn)價(jià)為40元/kg的產(chǎn)品,已知該店按60元kg出售時(shí),每天可售出100kg,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價(jià)每降低1元,則每天的銷售量可增加10kg.
(1)若單價(jià)降低2元,則每天的銷售量是_____千克,每天的利潤為_____元;若單價(jià)降低x元,則每天的銷售量是_____千克,每天的利潤為______元;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)若該店銷售這種產(chǎn)品計(jì)劃每天獲利2240元,單價(jià)應(yīng)降價(jià)多少元?
(3)當(dāng)單價(jià)降低多少元時(shí),該店每天的利潤最大,最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某中學(xué)舉行“中國夢校園好聲音”歌手大賽,高、初中部根據(jù)初賽成績,各選出5名選手組成初中代表隊(duì)和高中代表隊(duì)參加學(xué)校決賽.兩個(gè)隊(duì)各選出的5名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表;
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
初中部 | 85 | ||
高中部 | 85 | 100 |
(2)結(jié)合兩隊(duì)成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)隊(duì)的決賽成績較好;
(3)計(jì)算兩隊(duì)決賽成績的方差并判斷哪一個(gè)代表隊(duì)選手成績較為穩(wěn)定.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是角平分錢,點(diǎn)E在AC上,且∠EAD=∠ADE.
(1)求證:△DCE∽△BCA;
(2)若AB=3,AC=4.求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、AC與⊙O相切于點(diǎn)B、C,∠A=50°,P為⊙O上異于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則∠BPC的度數(shù)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司欲招聘一名部門經(jīng)理,對甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了三項(xiàng)素質(zhì)測試.各項(xiàng)測試成績?nèi)绫砀袼荆?/span>
測試項(xiàng)目 | 測試成績 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
專業(yè)知識(shí) | 74 | 87 | 90 |
語言能力 | 58 | 74 | 70 |
綜合素質(zhì) | 87 | 43 | 50 |
(1)如果根據(jù)三次測試的平均成績確定人選,那么誰將被錄用?
(2)根據(jù)實(shí)際需要,公司將專業(yè)知識(shí)、語言能力和綜合素質(zhì)三項(xiàng)測試得分按4:3:1的比例確定每個(gè)人的測試總成績,此時(shí)誰將被錄用?
(3)請重新設(shè)計(jì)專業(yè)知識(shí)、語言能力和綜合素質(zhì)三項(xiàng)測試得分的比例來確定每個(gè)人的測試總成績,使得乙被錄用,若重新設(shè)計(jì)的比例為x:y:1,且x+y+1=10,則x= ,y= .(寫出x與y的一組整數(shù)值即可).
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