Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）兩點(diǎn)．

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）若有一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在圓M上，開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△PDE= S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，

把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得 ，解得 ，

所以直線AB的解析式為y=﹣ x﹣6

（2）解：在Rt△AOB中，AB= =10，

∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙M的直徑，

∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（﹣4，﹣3），

∵M(jìn)C∥y軸，MC=5，

∴C（﹣4，2），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）2+2，即y=﹣ x2﹣4x﹣6

（3）解：存在．

當(dāng)y=0時(shí)，﹣ （x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM= 8CM=20，

設(shè)P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），

∵S△PDE= S△ABC，

∴ （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1，

當(dāng)﹣ t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+ ，t2=﹣4﹣ ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）

當(dāng)﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣ ；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）或（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）時(shí)，使得S△PDE= S△ABC．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙M的直徑，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（﹣4，﹣3），則可確定C（﹣4，2），然后利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式；（3）通過(guò)解方程﹣ （x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM ， 可求出S△ABC=10，設(shè)P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），所以 （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，然后解絕對(duì)值方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．