Question

如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足為N．
（1）求證：OM=AN；
（2）若⊙O的半徑R=3，PA=8，求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OA，如圖，先根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAP=90°，再證明四邊形ANMO為矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）解：連結(jié)OB，如圖，先根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OBM=90°，再利用四邊形ANMO為矩形得到MN=OA=3，OM=AN，接著可證明△PMN≌△MOB，則PM=OM，所以O(shè)M=AN=PM，
根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得PA=PB=8，然后設(shè)OM=x，則PN=8-x，PM=x，在Rt△PMN中利用勾股定理得到3²+（8-x）²=x²，再解方程求出x即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵PA為⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵OM∥AP，
∴∠AOM=90°，
而MN⊥PA，
∴∠MNA=90°，
∴四邊形ANMO為矩形，
∴OM=AN；
（2）解：連結(jié)OB，如圖，
∵PB為⊙O的切線(xiàn)，
∴OB⊥PA，OB=3，
∴∠OBM=90°，
∵四邊形ANMO為矩形，
∴MN=OA=3，OM=AN，
∴OB=MN，
∵OM∥PA，
∴∠MPN=∠BMO，
在△PMN和△MOB中，

∠MNP=∠OBM ∠MPN=∠OMB OB=MN

，
∴△PMN≌△MOB（AAS），
∴PM=OM，
∴OM=AN=PM，
∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，
∴PA=PB=8，
設(shè)OM=x，則PN=8-x，PM=x，
在Rt△PMN中，∵M(jìn)N²+PN²=PM²，
∴3²+（8-x）²=x²，解得x=

73

16

，
即OM的長(zhǎng)為

73

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．