Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數(shù)式表示）

（2）連結(jié)PQ，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時(shí)，求t的值；

（3）如圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DF．設(shè)矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．

①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=8﹣t（0≤t≤4）；（2）t=s或3s；（3）①；②t=s或s．

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理先求出AC，根據(jù)AQ=AC﹣CQ即可解決問題；

（2）分兩種情形列出方程求解即可；

（3）①分三種情形a、如圖1中，當(dāng)0≤t≤時(shí)，重疊部分是四邊形PEQF．b、如圖2中，當(dāng)＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PNQE．C、如圖3中，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，重疊部分是五邊形MNPBQ．分別求解即可；

②分兩種情形a、如圖4中，當(dāng)DE：DQ=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．b、如圖5中，當(dāng)NE：PN=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．分別列出方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC== =8，∵CQ=t，∴AQ=8﹣t（0≤t≤4）．

（2）①當(dāng)PQ∥BC時(shí)， ，∴，∴t=s．

②當(dāng)PQ∥AB時(shí)， ，∴，∴t=3．

綜上所述，t=s或3s時(shí)，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行．

（3）①如圖1中，a、當(dāng)0≤t≤時(shí)，重疊部分是四邊形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣t）=．

b、如圖2中，當(dāng)＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PNQE．

S=S四邊形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣（8﹣t）] [5t﹣（8﹣t0]= ．

C．如圖3中，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，重疊部分是五邊形MNPBQ．

S =S四邊形PBQF -S△FNM=t[6﹣3（t﹣2）]﹣[t﹣4（t﹣2）] [t﹣4（t﹣2）]= ．

綜上所述： ；

②a、如圖4中，當(dāng)DE：DQ=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

則有（4﹣4t）：（4﹣t）=1：2，解得t=s；

b、如圖5中，當(dāng)NE：PN=1：2時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，∴（4t﹣4）：（4﹣t）=1：3，解得t=s．

綜上所述，當(dāng)t=s或s時(shí)，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．