Question

（2012•莆田）如圖，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象過點(diǎn)A（0，3），且與反比例函數(shù)y=

k2

x

（x＞O）的圖象相交于B、C兩點(diǎn)．
（1）若B（1，2），求k₁•k₂的值；
（2）若AB=BC，則k₁•k₂的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式，然后代入k₁•k₂進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)出兩函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組并整理成關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)AB=BC可知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的2倍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系整理得到關(guān)于k₁、k₂的關(guān)系式，整理即可得解．

解答：解：（1）∵A（0，3），B（1，2）在一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象上，
∴

b=3 k1+b=2

，
解得

k1=-1 b=3

；
∵B（1，2）在反比例函數(shù)y=

k2

x

圖象上，
∴

k2

1

=2，
解得k₂=2，
所以，k₁•k₂=（-1）×2=-2；

（2）k₁•k₂=-2，是定值．
理由如下：∵一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（0，3），
∴設(shè)一次函數(shù)解析式為y=k₁x+3，反比例函數(shù)解析式為y=

k2

x

，
∴k₁x+3=

k2

x

，
整理得k₁x²+3x-k₂=0，
∴x₁+x₂=-

3

k1

，x₁•x₂=-

k2

k1

∵AB=BC，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的2倍，不妨設(shè)x₂=2x₁，
∴x₁+x₂=3x₁=-

3

k1

，x₁•x₂=2x₁²=-

k2

k1

，
∴-

k2

2k1

=（-

3

3k1

）²，
整理得，k₁•k₂=-2，是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系，（2）中根據(jù)AB=BC，得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)的關(guān)系從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．