Question

8．為了節(jié)能環(huán)保，新建的阜益路上路燈都是太陽能路燈．已知太陽能路燈售價為5000元/個，有甲、乙兩經(jīng)銷商銷售此產(chǎn)品．甲用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次購買100個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個．乙一律按原價的80%銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈x個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為y₁元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為y₂元．
（1）分別求出y₁、y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若政府投資120萬元，最多能購買多少個太陽能路燈？

Answer 1

分析 （1）對甲，由于購買個數(shù)不同，售價也不同，因此需按購買個數(shù)分成三段由等量關(guān)系“所需金額=售價×購買個數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式；對乙，按等量關(guān)系“所需金額=售價×購買個數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式．
（2）分別計算投資額在甲乙商家各能購買的太陽能路燈的數(shù)量，比較得出最大值．

解答 解：（1）由題意可知，
當x≤100時，購買一個需5000元，故y₁=5000x；
當x≥100時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但售價不得低于3500元/個，
所以x≤$\frac{5000-3500}{10}$+100=250．
即100≤x≤250時，購買一個需5000-10（x-100）元，故y₁=6000x-10x²；
當x＞250時，購買一個需3500元，故y₁=3500x；
所以${y_1}=\left\{\begin{array}{l}5000x\\ 6000x-10{x^2}\\ 3500x\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（0≤x≤100），\\（100＜x≤250），\\（x＞250）.\end{array}$y₂=5000×80%x=4000x；
（2）當0＜x≤100時，y₁=5000x≤500000＜1200000；
當100＜x≤250時，y₁=6000x-10x²=-10（x-300）²+900000＜1200000；
所以，由3500x=1200000，解得$x=342\frac{6}{7}$；
由4000x=1200000，解得x=300．
故選擇甲商家，最多能購買342個路燈．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)關(guān)系式的列法，關(guān)鍵是從自變量的變化范圍入手，同時考查了最值的求法，分段函數(shù)是中考中熱點問題應(yīng)重點掌握．