【題目】在小學(xué),我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等,四個(gè)內(nèi)角都是直角”,請(qǐng)適當(dāng)利用上述知識(shí),解答下列問題:
已知:如圖,在正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以DG為邊向右作正方形DGEF,作EH⊥AB于點(diǎn)H.
(1)填空:∠AGD+∠EGH= °;
(2)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊.
①求證:△DAG≌△GHE;
②試探索:EH﹣BG的值是否為定值,若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)連接EB,在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過程中,求∠EBH的度數(shù);
【答案】(1)90;(2)①答案見解析;②EH﹣BG的值是定值4;(3)45°.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DGE=90°,由平角的定義即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)垂直的定義得到∠GHE=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠GEH=∠AGD,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAG=90°,DG=GE,求得∠DAG=∠GHE,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=EH,根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論;
(3)下面分兩種情況討論:( I)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),如圖1,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=DA=AB,EH=AG,于是得到GB+BH=AG+GB,推出△BHE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EBH=45°;( II)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),根據(jù)全等三角形的想知道的GH=DA=AB,EH=AG,于是得到AB+BG=BG+GH,推出△BHE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EBH=45°;( III)當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí),如圖3,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=DA=AB,EH=AG=AB,推出△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,于是得到∠EBH=45°即可得到結(jié)論.
試題解析:解: (1)90;
(2)①∵EH⊥AB,
∴∠GHE90°,
∴∠GEH+∠EGH90°,
又∠AGD+∠EGH90°,
∴∠GEH∠AGD,
∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形,
∴∠DAG90°,DGGE,
∴∠DAG∠GHE,
在△DAG和△GHE中,
,
∴△DAG≌△GHE(AAS);
②EH﹣BG的值是定值,
理由如下:由①證得:△DAG≌△GHE,
∴AGEH,
又AGABBG,AB4,
∴EHAB+BG,EH﹣BGAB4;
(3)下面分兩種情況討論:
(I)當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),如圖1,
同(2)①可證得:△DAG≌△GHE,
∴GHDAAB,EHAG,
∴GB+BHAG+GB,
∴BHAGEH,又∠GHE90°
∴△BHE是等腰直角三角形,
∴∠EBH45°;
( II) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),
由(2)①證得:△DAG≌△GHE.
∴GHDAAB,EHAG,
∴AB+BGBG+GH,
∴AGBH,又EHAG
∴EHHB,又∠GHE90°
∴△BHE是等腰直角三角形,
∴∠EBH45°;
( III)當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí),
如圖3,同理可證:△DAG≌△GHE,
∴GHDAAB,EHAGAB,
∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形,
∴∠EBH45°
綜上,在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過程中,∠EBH都等于45°。
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