Question

【題目】在小學，我們知道正方形具有性質“四條邊都相等，四個內角都是直角”，請適當利用上述知識，解答下列問題：

已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點G是射線AB上的一個動點，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點H．

（1）填空：∠AGD+∠EGH=　 　°；

（2）若點G在點B的右邊．

①求證：△DAG≌△GHE；

②試探索：EH﹣BG的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

（3）連接EB，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，求∠EBH的度數(shù)；

Answer 1

【答案】（1）90；（2）①答案見解析；②EH﹣BG的值是定值4；（3）45°．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質得到∠DGE=90°，由平角的定義即可得到結論；
（2）①根據垂直的定義得到∠GHE=90°，根據余角的性質得到∠GEH=∠AGD，根據正方形的性質得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；②根據全等三角形的性質得到AG=EH，根據線段的和差即可得到結論；
（3）下面分兩種情況討論：（ I）當點G在點B的左側時，如圖1，根據全等三角形的性質得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠EBH=45°；（ II）如圖2，當點G在點B的右側時，根據全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠EBH=45°；（ III）當點G與點B重合時，如圖3，根據全等三角形的性質得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到結論．

試題解析：解： （1）90；

（2）①∵EH⊥AB，

∴∠GHE90°，

∴∠GEH+∠EGH90°，

又∠AGD+∠EGH90°，

∴∠GEH∠AGD，

∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，

∴∠DAG90°，DGGE，

∴∠DAG∠GHE，

在△DAG和△GHE中，

，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

②EH﹣BG的值是定值，

理由如下：由①證得：△DAG≌△GHE，

∴AGEH，

又AGABBG，AB4，

∴EHAB+BG，EH﹣BGAB4；

（3）下面分兩種情況討論：

（I）當點G在點B的左側時，如圖1，

同（2）①可證得：△DAG≌△GHE，

∴GHDAAB，EHAG，

∴GB+BHAG+GB，

∴BHAGEH，又∠GHE90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°；

（ II） 如圖2，當點G在點B的右側時，

由（2）①證得：△DAG≌△GHE．

∴GHDAAB，EHAG，

∴AB+BGBG+GH，

∴AGBH，又EHAG

∴EHHB，又∠GHE90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°；

（ III）當點G與點B重合時，

如圖3，同理可證：△DAG≌△GHE，

∴GHDAAB，EHAGAB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°

綜上，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，∠EBH都等于45°。