Question

如圖1在直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C（1，0）
（1）若△AOC的面積是2，則m的值為

 

；若OB=OA，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是

 

．
（2）在（1）的條件，AB所在直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在x軸上，PE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥y軸于點(diǎn)F．
于點(diǎn)E．
①若點(diǎn)P是線段OM上不與O，M重合的任意一點(diǎn)，PM=a，當(dāng)a為何值時(shí)，PM=PF？
②若點(diǎn)P是射線OM上的一點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，由P、M、E、F四個(gè)點(diǎn)組成的四邊形的面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,完全平方公式,解一元二次方程-公式法,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,勾股定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，由反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求出m的值；由條件可得OD²+BD²=OC²+AC²=17，OD•BD=4．由此可求出OD、BD的值，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）①先求出直線AB的解析式，再求出直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以得到OM=ON=5，∠OMN=∠ONM=45°，然后利用三角函數(shù)就可用a的代數(shù)式表示出OP、PF、OF的長(zhǎng)，在Rt△POF中運(yùn)用勾股定理就可求出a的值；②由于點(diǎn)P是射線OM上的一點(diǎn)，因此需分情況討論，可分0≤x＜5，x=5，x＞5三種情況進(jìn)行討論，同樣利用三角函數(shù)用a的代數(shù)式表示出PM、EF、OF的長(zhǎng)，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，如圖1，
∵AC⊥x軸，垂足為C，
∴S_△ACO=

1

2

OC•AC=

. m .

2

=2，OA²=OC²+AC²．
∵點(diǎn)C（1，0）即OC=1，m＞0，
∴AC=4，m=4．
∵BD⊥x軸，垂足為D，
∴S_△ODB=

1

2

OD•BD=

. m .

2

=2，OB²=OD²+BD²．
∴OD•BD=4．
∵OA=OB，
∴OD²+BD²=OC²+AC²=1+16=17．
∴（OD+BD）²=OD²+BD²+2OD•BD=17+8=25，
（OD-BD）²=OD²+BD²-2OD•BD=17-8=9．
∵OD＞BD＞0，
∴OD+BD=5，OD-BD=3．
∴OD=4，BD=1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
故答案為：4，（4，1）．

（2）在（1）的條件下有點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（4，1）．
①如圖2，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=4 4k+b=1

．
解得：

k=-1 b=5

．
∴直線AB的解析式為y=-x+5．
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，則點(diǎn)N（0，5），ON=5；
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，則點(diǎn)M（5，0），OM=5．
∴OM=ON=5．
∵∠MON=90°，
∴∠OMN=∠ONM=45°，MN=5

2

．
∵PE⊥AB，EF⊥ON，
∴EM=PM•cos∠EMP=

2

2

PM，NF=NE•cos∠FNE=

2

2

NE．
∵PM=a，
∴OP=5-a，EM=

2

2

a，NE=5

2

-

2

2

a，NF=5-

1

2

a，OF=

1

2

a．
∵PF=PM=a，∠POF=90°，
∴PF²=OF²+OP²．
∴a²=（

1

2

a）²+（5-a）²．
解得：a₁=20+10

3

，a₂=20-10

3

．
∵點(diǎn)P是線段OM上不與O，M重合的任意一點(diǎn)，
∴0＜a＜5．
∴a=20-10

3

．
∴當(dāng)a=20-10

3

時(shí)，PM=PF．
②Ⅰ．當(dāng)0≤x＜5時(shí)，點(diǎn)P在線段OM上（與點(diǎn)M不重合），如圖2，
則有PM=5-x，EM=

2

2

（5-x），NE=5

2

-

2

2

（5-x），
EF=NF=

2

2

NE=5-

1

2

（5-x）=

1

2

x+

5

2

．
∴OF=ON-NF=5-（

1

2

x+

5

2

）=

5

2

-

1

2

x．
∴y=

1

2

（EF+PM）•OF=

1

2

（

1

2

x+

5

2

+5-x）•（

5

2

-

1

2

x）=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

．
Ⅱ．當(dāng)x=5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，此時(shí)P、M、E、F四個(gè)點(diǎn)不能組成四邊形，故舍去．
Ⅲ．當(dāng)x＞5時(shí)，點(diǎn)P在線段OM的延長(zhǎng)線上，如圖3，
則有PM=x-5，EM=

2

2

（x-5），NE=5

2

+

2

2

（x-5），
EF=NF=

2

2

NE=5+

1

2

（x-5）=

1

2

x+

5

2

．
∴OF=NF-ON=

1

2

x+

5

2

-5=

1

2

x-

5

2

．
∴y=

1

2

（EF+PM）•OF=

1

2

（

1

2

x+

5

2

+x-5）•（

1

2

x-

5

2

）=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

．
綜上所述：當(dāng)0≤x＜5時(shí)，y=

1

8

x²-

5

2

x+

75

8

；當(dāng)x＞5時(shí)，y=

3

8

x²-

5

2

x+

25

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、解一元二次方程、完全平方公式、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，還考查了分類討論的思想，有一定的綜合性．