【題目】方法感悟:

1)如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4AF=2,是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H,使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最?若存在,求出它周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

問題解決:

2)如圖②,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=米,∠EHG=45°,經(jīng)研究,只有當(dāng)點(diǎn)EF、G分別在邊AD、AB、BC上,且AFBF,并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),才有可能裁出符合要求的部件,試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件?若能,求出裁得的四邊形EFGH部件的面積,并寫出在以B為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BCx軸,直線BAy軸的坐標(biāo)系中,點(diǎn)H的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)存在得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,最小值為2+10;

2)當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時(shí),裁得了符合條件的最大部件,這個(gè)部件的面積為(5+m2,H(+3,1)

【解析】分析: (1)作E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E′,作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′,連接E′F′,得到此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,A=90°,于是得到AF′=6,AE′=8,求出E′F′=10,EF=2即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)余角的性質(zhì)得到1=∠2,推出△AEF≌△BGF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG,AE=BF,設(shè)AF=x,則AE=BF=3x根據(jù)勾股定理列方程得到AF=BG=1,BF=AE=2,作△EFG關(guān)于EG的對(duì)稱△EOG,則四邊形EFGO是正方形,∠EOG=90°,以O為圓心,以EG為半徑作⊙O,則∠EHG=45°的點(diǎn)H在⊙O上,連接FO,并延長(zhǎng)交⊙OH′,則H′在EG的垂直平分線上,連接EH′GH′,則∠EH′G=45°,于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件,根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論.

詳解:

解:(1)存在,理由:作E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E′,

F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′,

連接E′F′,交BCG,交CDH,連接FG,EH,

F′G=FG,E′H=EH,則此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,

由題意得:BF′=BF=AF=2DE′=DE=2,A=90°,

AF′=6,AE′=8,

E′F′=10EF=2,

∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10

∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H,

使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,最小值為2+10;

2)能裁得,

理由:∵EF=FG=A=B=90°,1+AFE=2+AFE=90°

∴∠1=2

AEFBGF中,

∴△AEF≌△BGF,

AF=BGAE=BF,

設(shè)AF=x,則AE=BF=3﹣x

x2+3x2=2,

解得:x=1,x=2(不合題意,舍去),

AF=BG=1,BF=AE=2,

DE=4CG=5,

連接EG,作EFG關(guān)于EG的對(duì)稱EOG

則四邊形EFGO是正方形,∠EOG=90°,

O為圓心,以EG為半徑作⊙O,

則∠EHG=45°的點(diǎn)在⊙O上,

連接FO,并延長(zhǎng)交⊙OH′,則H′EG的垂直平分線上,

連接EH′GH′,則∠EH′G=45°

此時(shí),四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的,

C在線段EG的垂直平分線設(shè),

∴點(diǎn)F,O,H′,C在一條直線上,

EG=,

OF=EG=,

CF=2

OC=,

OH′=OE=FG=

OH′OC,

∴點(diǎn)H′在矩形ABCD的內(nèi)部,

∴可以在矩形ABCD中,裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件,

這個(gè)部件的面積=EGFH′=××+=5+,

∴當(dāng)所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時(shí),裁得了符合條件的最大部件,這個(gè)部件的面積為(5+m2H(+3,1).

點(diǎn)睛: 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,軸對(duì)稱的性質(zhì),存在性問題,掌握的作出輔助線利用對(duì)稱的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)原計(jì)劃加工一批校服,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠加工這批校服,已知甲工廠每天能加工這種校服16件,乙工廠每天加工這種校服24件,且單獨(dú)加工這批校服甲廠比乙廠要多用20

1)求這批校服共有多少件?

2)為了盡快完成這批校服,若先由甲、乙兩工廠按原速度合作一段時(shí)間后,甲工廠停工,而乙工廠每天的速度提高25%,乙工廠單獨(dú)完成剩下的部分,且乙工廠全部工作時(shí)間是甲工廠工作時(shí)間的2倍還多4天,求乙工廠加工多少天

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中, , AC=BC=3, ABC折疊,使點(diǎn)A落在BC 邊上的點(diǎn)D處,EF為折痕,若AE=2,則的值為_____________.

【答案】

【解析】分析:過點(diǎn)DDGAB于點(diǎn)G.根據(jù)折疊性質(zhì),可得AE=DE=2,AF=DF,CE=1,

RtDCE中,由勾股定理求得所以DB=;RtABC中,由勾股定理得;RtDGB中,由銳角三角函數(shù)求得 ;

設(shè)AF=DF=x,FG= RtDFG中,根據(jù)勾股定理得方程=,解得,從而求得.的值

詳解:

如圖所示,過點(diǎn)DDGAB于點(diǎn)G.

根據(jù)折疊性質(zhì),可知AEFDEF,

∴AE=DE=2,AF=DFCE=AC-AE=1,

RtDCE中,由勾股定理得,

DB=;

RtABC中,由勾股定理得;

RtDGB中, , ;

設(shè)AF=DF=xFG=AB-AF-GB=,

RtDFG, ,

=

解得,

==.

故答案為: .

點(diǎn)睛:主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、銳角三件函數(shù)的定義;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)來解決問題.

型】填空
結(jié)束】
18

【題目】規(guī)定:[x]表示不大于x 的最整數(shù),(x) 表示不小于x的最小整數(shù),[x) 表示最接近x的整數(shù)(xn+0.5,n為整數(shù)),例如:[2.3]=2(2.3)=3,[2.3)=2,則下列說法正確的是__________(寫出所有正確說法).

①當(dāng)x=1.7時(shí),[x]+(x)+[x)=6

②當(dāng)x=-2.1時(shí),[x]+(x)+[x)=-7

③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為1<x<1.5;

④當(dāng)-1<x<1時(shí), 函數(shù)y=[x]+(x)+x 的圖像y=4x 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】3張紙牌,分別是紅桃3、紅桃4和黑桃5(簡(jiǎn)稱紅3,紅4,黑5).把牌洗勻后甲先抽取一張,記下花色和數(shù)字后將牌放回,洗勻后乙再抽取一張.

1)兩次抽得紙牌均為紅桃的概率;(請(qǐng)用畫樹狀圖列表等方法寫出分析過程)

2)甲、乙兩人做游戲,現(xiàn)有兩種方案.A方案:若兩次抽得花色相同則甲勝,否則乙勝.B方案:若兩次抽得紙牌的數(shù)字和為奇數(shù)則甲勝,否則乙勝.請(qǐng)問甲選擇哪種方案勝率更高?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知在ABC中,∠A=90°

1)請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P,使圓心PAC邊上,且與AB,BC兩邊都相切(保留作圖痕跡,不寫作法和證明);

2)在(1)的條件下,若∠B=45°AB=1,PBC于點(diǎn)D,求劣弧的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為選拔一名選手參加美麗江門,我為僑鄉(xiāng)做代言主題演講比賽,經(jīng)研究,按下圖所示的項(xiàng)目和權(quán)數(shù)對(duì)選拔賽參賽選手進(jìn)行考評(píng)(因排版原因統(tǒng)計(jì)圖不完整),下表是李明、張華在選拔賽中的得分情況:

服裝

普通話

主題

演講技巧

李明

85

70

80

85

張華

90

75

75

80

結(jié)合以上信息,回答下列問題:

1)求服裝項(xiàng)目在選手考評(píng)中的權(quán)數(shù);

2)根據(jù)你所學(xué)的知識(shí),幫助學(xué)校在李明、張華兩人中選擇一人參加美麗江門,我為僑鄉(xiāng)做代言主題演講比賽,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,已知EBC的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF

1)求證:AB=CF;

2)當(dāng)BCAF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形ABFC是矩形,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a ,2)是直線y=x上一點(diǎn),以A為圓心,2為半徑作⊙A,若P(x,y)是第一象限內(nèi)⊙A上任意一點(diǎn),則的最小值為(

A. 1 B. C. —1 D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體。

1)圖中有   塊小正方體;

2)請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖;(用陰影表示)

3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體,并保持這個(gè)幾何體的俯視圖和左視圖不變,那么最多可以再添加幾個(gè)小正方體?

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