【題目】菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD是對角線,點E、F分別是邊AB、AD上兩個點,且滿足AE=DF,連接BF與DE相交于點G.
(1)如圖1,求∠BGD的度數(shù);
(2)如圖2,作CH⊥BG于H點,求證:2GH=GB+DG;
(3)在滿足(2)的條件下,且點H在菱形內(nèi)部,若GB=6,CH=4,求菱形ABCD的面積.
【答案】(1)∠BGD=120°;(2)見解析;(3)S四邊形ABCD=26.
【解析】
(1)只要證明△DAE≌△BDF,推出∠ADE=∠DBF,由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°,推出∠BGD=180°-∠BGE=120°;
(2)如圖3中,延長GE到M,使得GM=GB,連接BD、CG.由△MBD≌△GBC,推出DM=GC,∠M=∠CGB=60°,由CH⊥BG,推出∠GCH=30°,推出CG=2GH,由CG=DM=DG+GM=DG+GB,即可證明2GH=DG+GB;
(3)解直角三角形求出BC即可解決問題;
(1)解:如圖1﹣1中,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∵∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴AB=DB,∠A=∠FDB=60°,
在△DAE和△BDF中,
,
∴△DAE≌△BDF,
∴∠ADE=∠DBF,
∵∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°,
∴∠BGD=180°﹣∠BGE=120°.
(2)證明:如圖1﹣2中,延長GE到M,使得GM=GB,連接CG.
∵∠MGB=60°,GM=GB,
∴△GMB是等邊三角形,
∴∠MBG=∠DBC=60°,
∴∠MBD=∠GBC,
在△MBD和△GBC中,
,
∴△MBD≌△GBC,
∴DM=GC,∠M=∠CGB=60°,
∵CH⊥BG,
∴∠GCH=30°,
∴CG=2GH,
∵CG=DM=DG+GM=DG+GB,
∴2GH=DG+GB.
(3)如圖1﹣2中,由(2)可知,在Rt△CGH中,CH=4,∠GCH=30°,
∴tan30°=,
∴GH=4,
∵BG=6,
∴BH=2,
在Rt△BCH中,BC=,
∵△ABD,△BDC都是等邊三角形,
∴S四邊形ABCD=2S△BCD=2××()2=26.
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【題目】如圖,將矩形ABCD的四個角向內(nèi)翻折后,恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,則邊AD的長是________ cm.
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【題目】某超市計劃購進甲、乙兩種商品共1200件,這兩種商品的進價,售價如下表:
進價(元/件) | 售價(元/件) | |
甲 | 25 | 30 |
乙 | 45 | 60 |
(1)超市如何進貨,進貨款恰好為46000元;
(2)為確保乙商品暢銷,在(1)的條件下,商家決定對乙商品進行打折出售,且全部售完后,乙商品的利潤率為20%,請問乙商品需打幾折?
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【題目】下列說法正確的是
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨
B. “拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋2次就有一次正面朝上
C. “彩票中獎的概率為1%”表示買100張彩票肯定會中獎
D. “拋一枚正方體骰子,朝上的點數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近
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【題目】如圖,ABCD中,AB=2,以點A為圓心,AB為半徑的圓交邊BC于點E,連接DE、AC、AE.
(1)求證:△AED≌△DCA;
(2)若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E,求圖中陰影部分(扇形)的面積.
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【題目】在平面直角坐標系中,過點C(1,3)、D(3,1)分別作x軸的垂線,垂足分別為A、B.
(1)求直線CD和直線OD的解析式;
(2)點M為直線OD上的一個動點,過M作x軸的垂線交直線CD于點N,是否存在這樣的點M,使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求此時點M的橫坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若△AOC沿CD方向平移(點C在線段CD上,且不與點D重合),在平移的過程中,設平移距離為t,△AOC與△OBD重疊部分的面積記為s,試求s與t的函數(shù)關系式.
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【題目】如圖,一垂直于地面的燈柱AB被一鋼筋CD固定,CD與地面成45°夾角(∠CDB=45°),在C點上方2米處加固另一條鋼線ED,ED與地面成53°夾角(∠EDB=53°),那么鋼線ED的長度約為多少米?(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
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【題目】從2開始,連續(xù)的偶數(shù)相加,它們和的情況如下表:
加數(shù)的個數(shù)n | S |
1 | 2=1×2 |
2 | 2+4=6=2×3 |
3 | 2+4+6=12=3×4 |
4 | 2+4+6+8=20=4×5 |
5 | 2+4+6+8+10=30=5×6 |
(1)若n=8時,則S的值為_____________.
(2)根據(jù)表中的規(guī)律猜想:用n的式子表示S的公式為:S=2+4+6+8+…+2n=__________________.
(3)根據(jù)上題的規(guī)律計算2+4+6+8+10+…+98+100的值.
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【題目】在平面直角坐標系中,點、的橫坐標分別為、,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、,且滿足 (為常數(shù)).
(1)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點.
①當、時,求的值;
②若隨的增大而減小,求的取值范圍.
(2)當且、時,判斷直線與軸的位置關系,并說明理由;
(3)點、的位置隨著的變化而變化,設點、運動的路線與軸分別相交于點、,線段的長度會發(fā)生變化嗎?如果不變,求出的長;如果變化,請說明理由.
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