Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+4的對(duì)稱軸是直線x=

3

2

，與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式； 
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接AD交y軸于點(diǎn)E，連接AC，設(shè)△AEC的面積為S₁，△DEC的面積為S₂，求S₁：S₂的值．
（3）點(diǎn)F坐標(biāo)為（6，0），連接DF，在（2）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿E→C→D→F勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿F→A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以D、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸和拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A即可求得a、b的值，即可解題；
（2）易求得點(diǎn)D坐標(biāo)，即可求得CD長(zhǎng)度，即可解題；
（3）存在3種情況：①DQ⊥x軸，∠PDQ=90°，②PQ⊥x軸，∠DPQ=90°，③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，即可求得t的值，即可解題．

解答：解：（1）∵對(duì)稱軸為

3

2

，
∴-

b

2a

=

3

2

，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴a-b+4=0，
∴a=-1，b=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；
（2）∵x=0時(shí)，y=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），
當(dāng)y=4時(shí)，x=0或3，
∴CD=3，
∴

S1

S2

=

AO

CD

=

1

3

；
（3）存在3種情況：
①DQ⊥x軸，∠PDQ=90°，如圖1，

∴2t=3，t=

3

2

時(shí)，△DPQ是直角三角形；
②PQ⊥x軸，∠DPQ=90°，如圖2，

∴6-2t=3t-3，∴t=

9

5

時(shí)，△DPQ是直角三角形；
③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，如圖3，

∴cos∠F=

3

5

，
∴

11-3t

2t

=

3

5

，
解得：t=

55

21

，△DPQ是直角三角形；
∴當(dāng)t=

3

2

或

9

5

或

55

21

時(shí)，△DPQ是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線坐標(biāo)軸求解，考查了直角三角形的判定和三角函數(shù)在直角三角形中運(yùn)用，本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．