Question

【題目】如圖，直線分別與x軸、y軸交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)C（4，2）．

（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（ ， ），B為（ ， ）；

（2）在線段上有一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交直線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；

（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q，使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形．若存在，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（0，4）．（2）故當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為、、或．

【解析】

（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l1的解析式，再分別令直線的解析式中求出對(duì)應(yīng)的y、x值，即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式，結(jié)合點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；

（3）分為邊和為對(duì)角線兩種情況討論．當(dāng)為邊時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)三角形相似找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解：（1）將點(diǎn)C（4，2）代入中，

得：，解得：，

∴直線為．

令中，則，

∴B（0，4）；

令中，則，

∴A（8，0）．

（2）∵點(diǎn)C（4，2）是直線上的點(diǎn)，

∴，解得：，

∴直線為．

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，

∴，

∴．

∵四邊形是平行四邊形，

∴，即，

解得：．

故當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．

（3）假設(shè)存在．

以為頂點(diǎn)的菱形分兩種情況：

①以為邊，如圖1所示．

∵點(diǎn)A（8，0），B（0，4），

∴．

∵以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，

∴或．

當(dāng)時(shí)，或；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P（﹣8，0）．

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)P（）時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即．

②以為對(duì)角線，對(duì)角線的交點(diǎn)為M，如圖2所示．

∵點(diǎn)，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)，即（3，0）．

∵以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，

∴點(diǎn)，即（5，4）．

綜上可知：若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)Q，使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為、、或．