【題目】定義:如圖1,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),若AM=3,MN=4求BN的長;

(2)已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn),其位置如圖2所示,請(qǐng)?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D,使C,D是線段AB的勾股分割點(diǎn)(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可);

(3)如圖3,正方形ABCD中,M,N分別在BC,DC上,且BM≠DN,∠MAN=45°,AM,AN分別交BD于E,F(xiàn).

求證:E、F是線段BD的勾股分割點(diǎn);

②△AMN的面積是AEF面積的兩倍.

【答案】1BN=5;(2)圖形見解析;3①證明見解析,②證明見解析.

【解析】試題分析:(1)①當(dāng)MN為最大線段時(shí),由勾股定理求出BN;由BN為最大線段時(shí),由勾股定理求出BN即可;

(2)①在AB上截取CE=CA,②作AE的垂直平分線,并截取CF=CA,③連接BF,并作BF的垂直平分線,交AB于D;

(3)①如圖3,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH,連接HE,只要證明△EAH≌△EAF,推出EF=HE,再證明∠HBE=90°即可;

②如圖,連接FM,EN,證明△AEN和△AFM是等腰直角三角形,推出AM、AN,根據(jù)三角形的面積和銳角三角函數(shù)求解即可.

試題解析:(1)解:(1)①當(dāng)MN為最大線段時(shí),

∵點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),

∴BM===,

②當(dāng)BN為最大線段時(shí),

∵點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),

∴BN===5,

綜上,BN=或5;

(2)作法:①在AB上截取CE=CA;

②作AE的垂直平分線,并截取CF=CA;

③連接BF,并作BF的垂直平分線,交AB于D;

點(diǎn)D即為所求;如圖2所示.

(3)①如圖3中,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABH,連接HE.

∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,∠DAF=∠BAH,

∴∠EAH=∠EAF=45°,

∵EA=EA,AH=AF,

∴△EAH≌△EAF,

∴EF=HE,

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD,

∴∠HBE=90°,

在Rt△BHE中,HE2=BH2+BE2

∵BH=DF,EF=HE,

∵EF2=BE2+DF2,

∴E、F是線段BD的勾股分割點(diǎn).

②證明:如圖4中,連接FM,EN.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADC=90°,∠BDC=∠ADB=45°,

∵∠MAN=45°,

∴∠EAN=∠EDN,∵∠AFE=∠FDN,

∴△AFE∽△DFN,

∴∠AEF=∠DNF, =

=,∵∠AFD=∠EFN,

∴△AFD∽△EFN,

∴∠DAF=∠FEN,

∵∠DAF+∠DNF=90°,

∴∠AEF+∠FEN=90°,

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形,

同理△AFM是等腰直角三角形;

∵△AEN是等腰直角三角形,同理△AFM是等腰直角三角形,

∴AM=AF,AN=AE,

∵S△AMN=AMANsin45°,

S△AEF=AEAFsin45°,

==2,

∴S△AMN=2S△AEF

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