Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90゜，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，EN∥DC交BD于點(diǎn)N．求證：
（1）CH=（+1）EH；
（2）=．

Answer 1

證明：（1）如圖，過H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH．
設(shè)HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=x+x=（+1）x，
即=+1．
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴==+1，即CH=（+1）EH；

（2）由（1）得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC=90°，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而=，BE=BH，
∴=．
分析：（1）過H作HM⊥BC于M，設(shè)HM=x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以證明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以證明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性質(zhì)可以推出∠BEH=∠EHB，然后利用對頂角相等證明∠BHE=∠BEH，接著得到BH=BE，然后用x分別表示BE、EN、CD，又由EN∥DC得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）利用（1）的結(jié)論可以證明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可證明．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．