【題目】如圖1,在半徑為2的扇形AOB中,∠AOB=90°,點C上的一個動點(不與點AB重合)ODBC,OEAC,垂足分別為點D、E

1)當BC=1時,求線段OD的長;

2在點C的運動過程中,△DOE中是否存在長度保持不變的邊或度數(shù)保持不變的角如果存在,請指出并求其長度或度數(shù)(只求一種即可);如果不存在,請說明理由;

3DFOE于點F(如圖2),當DF 2+EF取得最大值時,求sinBOD的值

【答案】(1);(2存在,DE的長度是不變的。證明見解析;(3

【解析】(1)根據(jù)垂徑定理,可得BD的長度,根據(jù)勾股定理,可得答案;
(2)根據(jù)勾股定理,可得AB的長度,根據(jù)三角形的中位線,可得答案,根據(jù)垂徑定理,可得圓心角相等,根據(jù)角的和差,可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理,可得DF2,根據(jù)二次函數(shù)的最值,可得DF的長度,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OD的長度,根據(jù)正弦的含義,可得答案.

解:1∵點O是圓心,ODBCBC=1,

BD=BC=

又∵OB=2

2存在,DE的長度是不變的.

如圖,連結(jié)AB,

∵點D、點E分別是BC、AC的中點,

DE=AB=

解法二

存在,∠DOE的度數(shù)是不變的。

如圖,連結(jié)OC

可得∠1=2,3=4,

∵∠AOB=900

∴∠2+3=45°即∠DOE=45°,

3解法一

如圖,

設(shè)BD=x,OD2=4-x2

由(2)解法二,可知∠DOE=45°,

∴△DOF是等腰直角三角形,

RtDFE中,由(2)解法一,可知DE=

DF 2+EF =

∴當,即BD 時,DF 2+EF取得最大值,

此時,。

解法二

如圖,

設(shè)EF=x由(2)解法一,可知DE=

RtDFE中,

DF 2+EF =

∴當,即EF時,DF 2+EF取得最大值,

此時,DF

由(2)解法二,可知∠DOE=45°,

∴△DOF是等腰直角三角形,

OD

RtBOD中,

練習冊系列答案
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