Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點C．

（1）a=；b=；
（2）點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一點，過點P作PQ⊥BC于點Q，連接PC．
①求線段PQ的最大值；
②若以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ,
（2）①由（1）知，a=﹣ ，b= ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2，

如圖，過點P作PG垂直于x軸于點G，與線段BC交于點M，

直線BC的表達(dá)式為y=﹣ x+2，則點M的坐標(biāo)為（t，﹣ t+2），

則PM=yP﹣yM=（﹣ t2+ t+2）﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴∠QPM=∠CBO

又∵∠PQM=∠COB，

∴△PQM∽△BOC，

∴

∴PQ= PM= （﹣ t2+2t）=﹣ t（t﹣4）

由拋物線的對稱性可知，當(dāng)t=2時，PQ的最大值是 =

②由①知，二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

∵B（4，0），

∴OB=4，

設(shè)P（t，﹣ t2+ t+2），

∴M（t，﹣ t+2）

在Rt△OBC中，tan∠OBC= = ，

在Rt△BGM中，BG=4﹣t，

∴MG= （4﹣t），根據(jù)勾股定理得，

BM= （4﹣t），

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴△PQM∽△BGM，

∴ ，= ，

∴QM= PQ= [﹣ t（t﹣4）]=﹣ ，

∵B（4，0），C（0，2），

∴BC=2 ，

∴CQ=BC﹣QM﹣BM=2 + ﹣ （4﹣t）= = t（t+1）

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴AB2=25，BC2=20，AC2=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°=∠PQC

∵以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

∴①△PCQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t=3，

∴P（3，2）

②△CPQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

∴P（ ， ）

即：P的坐標(biāo)為（3，2）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），

∴ ，

∴ ，

故答案為：﹣ ， ；

（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先確定出PM，再判斷出△PQM∽△BOC，得出PQ的長，即可得出結(jié)論；
（3）利用相似三角形的性質(zhì)得出CQ，再分兩種情況用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．