Question

【題目】（1）如圖1，是等邊三角形邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)）與點(diǎn)不重合，連接，以為邊在上方作等邊三角形，連接，你能發(fā)現(xiàn)與之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

（2）如圖二，當(dāng)動點(diǎn)在等邊三角形邊上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，以為邊在其上方、下方分別作等邊三角形和等邊三角形，連接，，探究，與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．

（3）如圖三，當(dāng)動點(diǎn)在等邊三角形邊的延長線上運(yùn)動時(shí)，其他作法與圖2相同，若，請直接寫出　　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得∠ACE=∠BCD，根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE，即AE=BE；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，DC=CF，∠ACB=∠DCF=60°，可得∠FCB=∠DCA，根據(jù)“SAS”可證△ACD≌△BCF，即BF=AD，即可得AB=AE=BF；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可得AE=BD，BF=AD，即可求AB的長．

解：（1）AE=BD,理由如下：

∵△ABC和△DCE是等邊三角形
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，且AC=BC，DC=CE
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD
（2）AB=AE+BF，
理由如下：∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD，
由（1）可知，BD=AE，
∵AB=BD+AD，
∴AB=AE+BF
（3）∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD=8，
∵△ABC和△DCF是等邊三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD=2，
∵AB=BD-AD
∴AB=8-2=6.