Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點(diǎn)A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交梯形對角線OC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），當(dāng)陰影部分面積S最小時(shí)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC∥x軸，BC⊥x軸，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），再分別把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，

k

2

），然后計(jì)算S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，當(dāng)k=2時(shí)，S_陰影部分最小值為

3

2

，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)．

解答：解：∵梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，
而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（

k

2

，2），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，

k

2

），
∴S_陰影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

．
當(dāng)k-2=0，即k=2時(shí)，S_陰影部分最小，最小值為

3

2

；
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），即E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S最小；
故答案為：（2，1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題以及二次函數(shù)最值問題等知識(shí)，根據(jù)已知表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．