Question

已知Rt△ABC和Rt△ADE，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P為線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE．
（1）如圖1，若AC=AE，C、A、E依次在同一條直線上，則∠CPE=

 

；PC與PE存在的等量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，若AC≠AE，C、A、E依次在同一條直線上，猜想∠CPE的度數(shù)及PC與PE存在的等量關(guān)系，并寫出你的結(jié)論；（不需要證明）

 

；
（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，若將Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使C、A、E不在一條直線上，試探究∠CPE的度數(shù)及PC與PE存在的等量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用“角邊角”證明△ABC和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=DE，延長(zhǎng)CP、ED，相交于點(diǎn)F，根據(jù)中點(diǎn)定義可得BP=DP，再求出BC∥DE，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠F=∠BCP，然后利用“角角邊”證明△BCP和△DFP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CP=PF，BC=DF，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PC=PE=PF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠F=∠PEF，再根據(jù)三角形的中位線定理可得∠F=∠ADE，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（2）延長(zhǎng)CP、ED，相交于點(diǎn)F，根據(jù)中點(diǎn)定義可得BP=DP，再求出BC∥DE，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠F=∠BCP，然后利用“角角邊”證明△BCP和△DFP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CP=PF，BC=DF，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PC=PE=PF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠F=∠PEF，再解直角三角形求出AC=

3

BC，AE=

3

DE，然后求出

AE

AC

=

DE

DF

，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出AD∥CF，求出∠F=∠ADE，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（3）取AB的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接CM、PM、EN、PN，利用三角形中位線定理求出PM∥AD，PN∥AB，然后求出四邊形AMPN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CM=PN，PM=NE，再求出∠PMC=∠ENP，然后利用“邊角邊”證明△PMC和△ENP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PC=PE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PCM=∠EPN，然后求出∠CPE=∠CPM+∠PCM+∠PMB，再利用三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠CPE=120°．

解答：解：（1）在△ABC和△ADE中，

∠ACB=∠AED AC=AE ∠BAC=∠DAE

，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE，
如圖1，延長(zhǎng)CP、ED，相交于點(diǎn)F，
∵P為線段BD的中點(diǎn)，
∴BP=DP，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴BC∥DE，
∴∠F=∠BCP，
在△BCP和△DFP中，

∠F=∠BCP ∠BPC=∠DPF BP=DP

，
∴△BCP≌△DFP（AAS），
∴CP=PF，BC=DF，
∴PC=PE=PF，
∴∠F=∠PEF，
又∵BC=DE=DF，AC=AE，
∴AD是△CEF的中位線，
∴AD∥CF，
∴∠F=∠ADE，
∵∠DAE=30°，∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；

（2）如圖2，延長(zhǎng)CP、ED，相交于點(diǎn)F，
∵P為線段BD的中點(diǎn)，
∴BP=DP，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴BC∥DE，
∴∠F=∠BCP，
在△BCP和△DFP中，

∠F=∠BCP ∠BPC=∠DPF BP=DP

，
∴△BCP≌△DFP（AAS），
∴CP=PF，BC=DF，
∴PC=PE=PF，
∴∠F=∠PEF，
∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴AC=

3

BC，AE=

3

DE，
∴然后求出

AE

AC

=

DE

BC

=

DE

DF

，
∴AD∥CF，
∴∠F=∠ADE，
∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；

（3）∠CPE=120°，PC=PE．
理由如下：如圖3，取AB的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接CM、PM、EN、PN，
∵P為線段BD的中點(diǎn)，
∴PM∥AD，PN∥AB，
∴四邊形AMPN是平行四邊形，
∴PM=AN，PN=AM，
∠AMA=∠PNA，
∴180°-∠AMA=180°-∠PNA，
即∠PMB=∠PND，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，AM=CM，EN=AN，
∴CM=PN，PM=EN，
∠BMC=2∠BAC=2×30°=60°，
∠DNE=2∠DAE=2×30°=60°，
∴∠PMB+∠BMC=∠PND+∠DNE，
即∠PMC=∠ENP，
在△PMC和△ENP中，

CM=PN ∠PMC=∠ENP PM=EN

，
∴△PMC≌△ENP（SAS），
∴PC=PE，∠PCM=∠EPN，
∵四邊形AMPN的對(duì)邊PN∥AM，
∴∠MPN=∠PMB，
∴∠CPE=∠CPM+∠MPN+∠EPN=∠CPM+∠PMB+∠PCM，
在△PMC中，∠CPM+∠PMB+∠PCM=180°-∠BMC=180°-60°=120°，
所以，∠CPE=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．