Question

12．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上找到點P，使得△PBC的周長最小，并求出點P的坐標(biāo)；
（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G為頂點四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）因為拋物線與x軸相交，令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點在拋物線上，C點的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)兩點式方程即可解出AC的函數(shù)表達式，根據(jù)軸對稱-最短路徑的確定頂點點P的位置，求出點P的坐標(biāo)；
（3）存在四個這樣的點．①連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（-3，0）；
②AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；
③此時C，G兩點的縱坐標(biāo)關(guān)于x軸對稱，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+7．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為（4+$\sqrt{7}$，0）；
④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{7}$，0）；綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．

解答 解：（1）令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
將C點的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3，得y=-3，
∴C（2，-3）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1，
由拋物線的對稱性可知，點A與點B關(guān)于對稱軸x=1對稱，
∴連接AC與x=1交于點P，點即為所求，
當(dāng)x=1時，y=-2，
則點P的坐標(biāo)為（1，-2）；
（3）存在4個這樣的點F，
①如圖1，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標(biāo)是（-3，0）；
②如圖2，AF=CG=2，A點的坐標(biāo)為（-1，0），因此F點的坐標(biāo)為（1，0）；
③如圖3，此時C，G兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此G點的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+$\sqrt{7}$．因此直線GF與x軸的交點F的坐標(biāo)為（4+$\sqrt{7}$，0）；
④如圖4，同③可求出F的坐標(biāo)為（4-$\sqrt{7}$，0），
綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題等重要知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．