Question

4．如圖所示，∠1=∠DBF，∠3=∠4，且BD=BF
（1）求證：△ABD≌△CBF；
（2）求證：∠ABC+2∠2=180°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠1=∠ABC，等量代換得到∠ABC=∠DBF，根據(jù)角的和差得到∠ABD=∠CBF，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)∠3=∠4，推出A，D，B，C四點共圓，由圓周角定理得到∠2=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACB，然后由三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠3=∠4，∠AED=∠BEC，
∴∠1=∠ABC，
∵∠1=∠DBF，
∴∠ABC=∠DBF，
∴∠ABC-∠EBF=∠DBF-∠EBF，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD與△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠ABD=∠CBF}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBF；

（2）∵∠3=∠4，
∴A，D，B，C四點共圓，
∴∠2=∠BAC，
∵△ABD≌△CBF，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠2=∠BAC=∠ACB，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+2∠2=180°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．