Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，-2），點B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)y=-x²的圖象為l₁．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的拋物線的一個解析式（任寫一個即可）；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A、B兩點，記拋物線為l₂，如圖2，求拋物線l₂的函數(shù)解析式及頂點C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P為y軸上一點，且S_△ABC=S_△ABP，求點P的坐標(biāo)；
（4）請在圖2上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點Q，使△QAB為等腰三角形？若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：做這類題時要綜合二次函數(shù)的圖象，及等腰三角形的知識．

解答：解：（1）讓拋物線過點A，即把點A的坐標(biāo)代入計算，得到，b+c=-1，不過點B，則把點B的坐標(biāo)代入得到3b+c≠8，依此兩個要求，隨便找一個數(shù)即可．故平移后的拋物線的一個解析式y(tǒng)=-x²+2x-3或y=-x²+4x-5等（滿足條件即可）；（1分）

（2）設(shè)l₂的解析式為y=-x²+bx+c，聯(lián)立方程組

-2=-1+b+c -1=-9+3b+c

，
解得：b=

9

2

，c=-

11

2

，則l₂的解析式為y=-x²+

9

2

x-

11

2

．（3分）
點C的坐標(biāo)為（

9

4

，-

7

16

）．（4分）

（3）如答圖1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，
則AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，F(xiàn)E=

3

4

．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

15

16

．（5分）
延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，則點G的坐標(biāo)為（0，-

5

2

），設(shè)點P的坐標(biāo)為（0，h），
①當(dāng)點P位于點G的下方時，PG=-

5

2

-h，連接AP、BP，
則S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=-

5

2

-h，又S_△ABC=S_△ABP=

15

16

，得h=-

55

16

，點P的坐標(biāo)為（0，-

55

16

）．（6分）
②當(dāng)點P位于點G的上方時，PG=

5

2

+h，同理h=-

25

16

，點P的坐標(biāo)為（0，-

25

16

）．
綜上所述所求點P的坐標(biāo)為（0，-

55

16

）或（0，-

25

16

）（7分）

（4）作圖痕跡如答圖2所示．
若AB為等腰三角形的腰，則分別以A、B為圓心，以AB長為半徑畫圓，交拋物線分別于Q₁、Q₂；
若AB為等腰三角形的底邊，則作AB的垂直平分線，交拋物線分別于Q₃、Q₄，
由圖可知，滿足條件的點有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4個可能的位置．（10分）

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與平移的有關(guān)知識．