【題目】(本題11分)如圖所示,直線ly=3x+3x軸交于點A,與y軸交于點B.把AOB沿y軸翻折,點A落到點C,拋物線過點B、CD30).

1)求直線BD和拋物線的解析式.

2)若BD與拋物線的對稱軸交于點M,點N在坐標軸上,以點NB、D為頂點的三角形與MCD相似,求所有滿足條件的點N的坐標.

3)在拋物線上是否存在點P,使SPBD=6?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)直線BD的解析式為:y=-x+3.拋物線的解析式為:y=x2-4x+3.(2)點N坐標為:(0,0),(-3,0)或(0,-3).點P的坐標為(4,3)或(-18).

【解析】試題分析:(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式;

2)首先確定△MCD為等腰直角三角形,因為△BND△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答圖1所示,符合條件的點N3個;

3)如答圖2、答圖3所示,解題關鍵是求出△PBD面積的表達式,然后根據(jù)SPBD=6的已知條件,列出一元二次方程求解.

試題解析:(1直線ly=3x+3x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴A﹣10),B03);

△AOB沿y軸翻折,點A落到點C,∴C10).

設直線BD的解析式為:y=kx+b,

B0,3),D3,0)在直線BD上,

,

解得k=﹣1,b=3

直線BD的解析式為:y=﹣x+3

設拋物線的解析式為:y=ax﹣1)(x﹣3),

B0,3)在拋物線上,

∴3=a×﹣1×﹣3),

解得:a=1

拋物線的解析式為:y=x﹣1)(x﹣3=x2﹣4x+3

2)拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=x﹣22﹣1,

拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,﹣1).

直線BDy=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點M,令x=2,得y=1,

∴M2,1).

設對稱軸與x軸交點為點F,則CF=FD=MF=1

∴△MCD為等腰直角三角形.

以點N、B、D為頂點的三角形與△MCD相似,

∴△BND為等腰直角三角形.

如答圖1所示:

I)若BD為斜邊,則易知此時直角頂點為原點O,

∴N10,0);

II)若BD為直角邊,B為直角頂點,則點Nx軸負半軸上,

∵OB=OD=ON2=3,

∴N2﹣30);

III)若BD為直角邊,D為直角頂點,則點Ny軸負半軸上,

∵OB=OD=ON3=3,

∴N30,﹣3).

滿足條件的點N坐標為:(0,0),(﹣30)或(0,﹣3).

3)方法一:

假設存在點P,使SPBD=6,設點P坐標為(mn).

I)當點P位于直線BD上方時,如答圖2所示:

過點PPE⊥x軸于點E,則PE=nDE=m﹣3

SPBD=S梯形PEOB﹣SBOD﹣SPDE=3+nm﹣×3×3﹣m﹣3n=6,

化簡得:m+n="7" ①

∵Pm,n)在拋物線上,

∴n=m2﹣4m+3,

代入式整理得:m2﹣3m﹣4=0

解得:m1=4,m2=﹣1,

∴n1=3,n2=8

∴P14,3),P2﹣1,8);

II)當點P位于直線BD下方時,如答圖3所示:

過點PPE⊥y軸于點E,則PE=mOE=﹣n,BE=3﹣n

SPBD=S梯形PEOD+SBOD﹣SPBE=3+m)(﹣n+×3×3﹣3﹣nm=6

化簡得:m+n=﹣1 ②,

∵Pmn)在拋物線上,

∴n=m2﹣4m+3,

代入式整理得:m2﹣3m+4=0△=﹣70,此方程無解.

故此時點P不存在.

綜上所述,在拋物線上存在點P,使SPBD=6,點P的坐標為(4,3)或(﹣1,8).

方法二:

假設存在點P,使SPBD=6

過點P作直線l平行BD,則lBD的距離為d,

BD==3

SPBD=BD×d,

d=2,

∵BDy軸夾角為45°,

∴BB′=4,

BD上移或下移4個單位,

上移4個單位,l解析式為:y=﹣x+7,

∵y=x2﹣4x+3,

∴x2﹣3x﹣4=0

∴x1=4,x2=﹣1,

下移4個單位,l解析式為y=﹣x﹣1,

∵y=x2﹣4x+3

∴x2﹣3x+4=0,0此方程無解,

綜上所述,點P的坐標為(4,3)或(﹣1,8).

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