【題目】在平面直角坐標系中,直線AB分別交x軸,y軸于A(a,0),B(0,b),且滿足a2+b2+4a﹣8b+20=0.
(1)求a,b的值;
(2)點P在直線AB的右側(cè);且∠APB=45°,
①若點P在x軸上(圖1),則點P的坐標為 ;
②若△ABP為直角三角形,求P點的坐標.
【答案】(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P點坐標為(4,2),(2,﹣2).
【解析】
(1)利用非負數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.
(2)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題.
②分兩種情形:如圖2中,若∠ABP=90°,過點P作PC⊥OB,垂足為C.如圖3中,若∠BAP=90°,過點P作PD⊥OA,垂足為D.分別利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.
(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0
∴(a+2)2+(b﹣4)2=0
∴a=﹣2,b=4.
(2)①如圖1中,
∵∠APB=45°,∠POB=90°,
∴OP=OB=4,
∴P(4,0).
故答案為(4,0).
②∵a=﹣2,b=4
∴OA=2OB=4
又∵△ABP為直角三角形,∠APB=45°
∴只有兩種情況,∠ABP=90°或∠BAP=90°
①如圖2中,若∠ABP=90°,過點P作PC⊥OB,垂足為C.
∴∠PCB=∠BOA=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠BAP=∠APB=45°,
∴BA=BP,
又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,
∴∠ABO=∠BPC,
∴△ABO≌△BPC(AAS),
∴PC=OB=4,BC=OA=2,
∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,
∴P(4,2).
②如圖3中,若∠BAP=90°,過點P作PD⊥OA,垂足為D.
∴∠PDA=∠AOB=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠ABP=∠APB=45°,
∴AP=AB,
又∵∠BAD+∠DAP=90°,
∠DPA+∠DAP=90°,
∴∠BAD=∠DPA,
∴△BAO≌△APP(AAS),
∴PD=OA=2,AD=OB=4,
∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,
∴P(2,﹣2).
綜上述,P點坐標為(4,2),(2,﹣2).
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【題目】已知y是關(guān)于x的一次函數(shù),下表列出了這個函數(shù)部分的對應(yīng)值:
(1)求這個一次函數(shù)的表達式.
(2)求m,n的值.
(3)已知點和點在該一次函數(shù)圖象上,設(shè),判斷正比例函數(shù)的圖象是否有可能經(jīng)過第一象限,并說明理由.
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【題目】如圖1,△ABC 中,AB=AC,點 D 在 AB 邊上,點 E 在 AC 的延長線上,且 CE=BD, 連接 DE 交 BC 于點 F.
⑴求證:EF=DF;
⑵如圖2,過點 D 作 DG⊥BC,垂足為 G,求證:BC=2FG.
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【題目】如圖,在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD,它們都與地面垂直,為了測得電線桿的高度,一個小組的同學(xué)進行了如下測量:某一時刻,在太陽光照射下,旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米,落在地面上的影子BF的長為10米,而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米,落在地面上的影子DH的長為5米,依據(jù)這些數(shù)據(jù),該小組的同學(xué)計算出了電線桿的高度.
(1)該小組的同學(xué)在這里利用的是 投影的有關(guān)知識進行計算的;
(2)試計算出電線桿的高度,并寫出計算的過程.
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【題目】某商店購進甲、乙兩種商品,已知每件甲種商品的價格比每件乙種商品的價格貴5元,用360元購買甲種商品的件數(shù)恰好與用300元購買乙種商品的件數(shù)相同.
(1)求甲、乙兩種商品每件的價格各是多少元?
(2)若商店計劃購買這兩種商品共40件,且投入的經(jīng)費不超過1150元,那么,最多可購買多少件甲種商品?
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分別找一點M,N,使△AMN周長最小,請在圖中畫出△AMN,寫出畫圖過程并直接寫出∠MAN的度數(shù).
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【題目】如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A、B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船C的求救信號.已知A、B兩船相距100(+1)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測點D,測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C,A與D間的距離AC和AD(如果運算結(jié)果有根號,請保留根號).
(2)已知距離觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁,若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,已知是的直徑,是的弦,弦于點,交于點,過點的直線與的延長線交于點,.
求證:是的切線;
當點在劣弧上運動時,其他條件不變,若.求證:點是的中點;
在滿足的條件下,,,求的長.
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