Question

【題目】如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿向點運動，過點作交邊或邊于點，點是射線上的一點，且，以、為鄰邊作矩形．設(shè)矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為（秒）．

（1）用含的代數(shù)式表示線段的長．

（2）當點落在上時，求的值．

（3）當矩形與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）點與點同時出發(fā)，在線段上以每秒2個單位長度的速度沿往返運動，連結(jié)、，當點停止時點也隨之停止，直接寫出矩形面積是面積的4倍時的值．

Answer 1

【答案】（1）當時，；當時，；（2）；（3）；（4）t的值為或．

【解析】

（1）分兩種情況：D在AC和BC上，根據(jù)三角函數(shù)列式先求PD的長，可得結(jié)論；
（2）如圖4，根據(jù)EF=2BE，列方程可得結(jié)論；
（3）存在兩種情況，先求邊界點時t的值，分別畫圖根據(jù)面積公式可得結(jié)論；
（4）分兩種情況，根據(jù)矩形PEFD面積是△QEF面積的4倍列方程可得t的值．

解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=2，

∴AB=，

如圖2，當D與C重合時，CP⊥AB，

cos∠A=，

即，

AP=，

tan∠A=，

即，
∴PD=，
∴當0＜t≤時，如圖1，PE=2PD=2×=，

如圖3，AP=，

∴PB=，
tan∠DBP=，

即，
PD=，
當＜t≤2時，如圖3，PE=2PD=2（）=；

（2）當點F落在BC上時，如圖4，

BE=，EF=PD=，
∵EF=2BE，

∴=2×()，
∴t=（秒）；

（3）當0＜t≤時，如圖1，矩形PEFD與△ABC重疊部分圖形是矩形PEFD，

S=PDPE=；

如圖5，當E與B重合時，PB=2PD，

則，解得：t=1，

當1＜t≤時，如圖6，

cos∠A=，

即，

∴AD=，

∴CD=，

∵DM∥，

∴∠CDM=∠A，
∴cos∠A=cos∠CDM=，

即，
∴DM=，
S=；
綜上，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：；

（4）①當0＜t≤1時，過Q作QH⊥AB于H，

∵AP=，BQ=2t，
∴PE=，PD=，BH=，
∴EH=BEBH=，
∵矩形PEFD面積是△QEF面積的4倍，
∴，
解得：t=0（舍）或；

②當1＜t≤2時，如圖7，過Q作QH⊥AB于H，

∵PE=，PB=，
∴BE=PEPB=，
∵BQ+CQ=2t，
∴BQ=4-2t，
∴BH=，
∵矩形PEFD面積是△QEF面積的4倍，

∴，
t=0（舍）或；
綜上，t的值是秒或秒．