Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－x＋c的對稱軸為直線x＝－1，與x軸交于點(diǎn)A（－4，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（m，n）為坐標(biāo)軸中一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若m＝0，∠DAB＝∠BCO，射線AD與拋物線交于點(diǎn)H，請畫出圖形，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）若n＝5，m≠－1，直線DE和DF（不與x軸垂直）都與拋物線只有一個公共點(diǎn)，DE和DF分別與對稱軸交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為對稱軸上（M，N下方）一點(diǎn)，當(dāng)PD2＝PMPN時，請畫出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線，得出，再將代入解得，即可得到解析式；

（2）當(dāng)時，求出拋物線與x軸交點(diǎn)，，當(dāng)時，得到C（0，4），可得AO=CO=4，OB=2，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在軸上，分成兩種情況討論，①當(dāng)在軸正半軸上時，通過證明，得到OB=OD，即點(diǎn)D為（0，2），求出直線AD的解析式，聯(lián)立直線AD的解析式和拋物線的解析式，得到點(diǎn)H的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時，通過證明，得到OB=OD，即點(diǎn)D為（0，-2），求出直線AD的解析式，聯(lián)立直線AD的解析式和拋物線的解析式，得到點(diǎn)H的坐標(biāo)即可；

（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線解析式為，將代入，得到，所以經(jīng)過點(diǎn)的直線解析式可以表示為，聯(lián)立過點(diǎn)D的解析式和拋物線的解析式得到，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線和都與拋物線只有一個交點(diǎn)，得到，設(shè)直線的解析式為，直線DF的解析式為，可得，，在中，當(dāng)時，，得到；在中，當(dāng)時，，得到，設(shè)，則，，，因?yàn)?/span>，列出方程，解得t=4，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，

，

，

，將代入解得，

拋物線的解析式為：；

（2）當(dāng)時，解得，，

，，

當(dāng)時，，

，，

∵，

點(diǎn)在軸上，

①當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時，如圖所示，

∵，，，

，

，

，

設(shè)的解析式為，將，代入解得，

聯(lián)立，

，，

，

②當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時，如圖所示，

∵，，，

，

，

設(shè)的解析式為，將，代入解得，

聯(lián)立，

，，

，

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，

（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線解析式為，將代入，

，

，

經(jīng)過點(diǎn)的直線解析式可以表示為，

聯(lián)立，

，

∵經(jīng)過點(diǎn)的直線和都與拋物線只有一個交點(diǎn)，

，

，

設(shè)直線的解析式為，

直線DF的解析式為，

則，，

在中，當(dāng)時，，

，

在中，當(dāng)時，，

，

設(shè)，則，，，

∵，

，

∵，

，

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；