Question

20．（1）如圖1，∠MAN=90°，射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點(diǎn)F，BD⊥AE于點(diǎn)D．求證：△ABD≌△CAF；
（2）如圖2，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；
（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，求△ACF與△BDE的面積之和．

Answer 1

分析 圖①，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據(jù)AAS證兩三角形全等即可；圖②根據(jù)已知和三角形外角性質(zhì)求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據(jù)ASA證兩三角形全等即可；圖③求出△ABD的面積，根據(jù)△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖①，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CFA}\\{∠ABD=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面積為15，CD=2BD，
∴△ABD的面積是：$\frac{1}{3}$×15=5，
由（2）中證出△ABE≌△CAF，
∴△ACF與△BDE的面積之和等于△ABE與△BDE的面積之和，即等于△ABD的面積，是5．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，證明過程有類似之處．