Question

9．已知△ABC中，AC=BC=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）設(shè)CF=x，用含x的代數(shù)式把Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積表示出來．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形ECFP的面積最大？此時(shí)Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積又是多少？

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，由已知條件得出四邊形ECFP是矩形，PE=CF=x，BF=3$\sqrt{2}$-x，證出△APE，△BPF是等腰直角三角形，得出AE=PE=x，PF=BF=3$\sqrt{2}$-x，即可得出Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積；
（2）把矩形ECFP的面積化成頂點(diǎn)式=-（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，即可得出當(dāng)x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，矩形ECFP的面積最大=$\frac{9}{2}$；求出△AEP的面積和△PFB的面積即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
∴四邊形ECFP是矩形，PE=CF=x，
∴BF=3$\sqrt{2}$-x，△APE，△BPF是等腰直角三角形，
∴AE=PE=x，PF=BF=3$\sqrt{2}$-x，
∴△AEP的面積=$\frac{1}{2}$x²，△PFB的面積=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-x）²，矩形ECFP的面積=x•（3$\sqrt{2}$-x）=-x²+3$\sqrt{2}$x；
（2）∵矩形ECFP的面積=-x²+3$\sqrt{2}$x=-（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，-1＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時(shí)，矩形ECFP的面積最大=$\frac{9}{2}$；
此時(shí)△AEP的面積=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，△PFB的面積=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．