Question

如圖，已知L₁⊥L₂，⊙O與L₁，L₂都相切，⊙O的半徑為1cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與直線L₁，L₂重合，∠BCA=60°，若⊙O與矩形ABCD沿L₁同時向右移動，⊙O的移動速度為2cm，矩形ABCD的移動速度為3cm/s，設(shè)移動時間為t（s）

（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為

 

°；
（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達(dá)⊙O₁的位置，矩形ABCD到達(dá)A₁B₁C₁D₁的位置，此時點(diǎn)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO₁的長）；
（3）在移動過程中，求當(dāng)對角線AC所在直線與圓O第二次相切時t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）連接OA，如圖①，利用切線長定理及矩形的性質(zhì)可求出∠OAD、∠DAC，就可求出∠OAC的度數(shù)．
（2）設(shè)⊙O₁與l₁的切點(diǎn)為N，連接O₁N，如圖②，在Rt△A₁O₁N中，利用三角函數(shù)可求出A₁N的長，然后再利用A₁N=AA₁-AE-EN求出t的值，就可解決問題．
（3）當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂C₂分別相切于點(diǎn)F、G，連接O₂F、O₂G、O₂A₂，如圖③，在Rt△A₂O₂F中，利用三角函數(shù)可求出A₂F的長，然后利用AF兩種表示方法建立關(guān)于t的方程，就可解決問題．

解答：解：（1）連接OA，如圖①．
∵L₁⊥L₂，⊙O與L₁、L₂都相切，
∴∠OAD=45°．
∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，
∴∠DAC=∠BCA=60°，
∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=105°，
故答案為：105．


（2）當(dāng)O₁、A₁、C₁恰好在同一直線上時，如圖②，
設(shè)⊙O₁與l₁的切點(diǎn)為N，
連接O₁N，則有O₁N⊥l₁．
在Rt△A₁O₁N中，
∵∠O₁A₁N=∠C₁A₁D₁=60°，
∴O₁N=A₁N•tan∠O₁A₁N=

3

A₁N．
∵O₁N=1，∴

3

A₁N=1，
∴A₁N=

3

3

．
∵A₁N=AA₁-AE-EN=AA₁-OE-OO₁=3t-1-2t=t-1，
∴t-1=

3

3

，
∴t=

3

3

+1，
∴OO₁=2t=

2 3

3

+2．
∴圓心O移動的距離為（

2 3

3

+2）cm．

（3）當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時，如圖③，
此時⊙O移動到⊙O₂的位置，矩形ABCD移動到A₂B₂C₂D₂的位置，
設(shè)⊙O₂與直線l₁、A₂C₂分別相切于點(diǎn)F，G，連接O₂F，O₂G，O₂A₂，
則有O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，∠GA₂O₂=∠FA₂O₂．
∵∠GA₂F=∠C₂A₂D₂=60°，∴∠O₂A₂F=30°．
在Rt△A₂O₂F中，
∵O₂F=1，∠O₂A₂F=30°，
∴O₂F=A₂F•tan30°=

3

3

A₂F=1，
∴A₂F=

3

．
∵AF=AA₂-A₂F=3t-

3

，AF=AE+EF=OE+OO₂=1+2t，
∴3t-

3

=1+2t，
∴t=

3

+1．
∴當(dāng)對角線AC所在直線與圓O第二次相切時t的值為（

3

+1）秒．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、銳角三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識，利用一條線段的兩種表示方法建立關(guān)于t的方程是解決第（2）小題與第（3）小題的關(guān)鍵．