Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求AE′，BF′的長；

（2）如圖③，當(dāng)0°﹤α﹤180°時(shí)， AE′和BF′有什么位置關(guān)系；

（3）若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）AE′,BF′的長都等于；

（2）AE′⊥BF′；

（3）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為+12.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長（2）運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（3）首先找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置（點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合時(shí)），然后運(yùn)用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值．

試題解析：(Ⅰ)當(dāng)α=90時(shí),點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①。

∵點(diǎn)A(2,0)點(diǎn)B(0,2)，

∴OA=OB=2.

∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中，

AE′===.

在Rt△BOF′中，

BF′===.

∴AE′,BF′的長都等于.

(Ⅱ)當(dāng)α=135°時(shí),如圖②。

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).

∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′.

(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°，

∴點(diǎn)P、B. A.O四點(diǎn)共圓，

∴當(dāng)點(diǎn)P在劣弧OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大。

∵OE′=1，

∴點(diǎn)E′在以點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓O上運(yùn)動(dòng),

∴當(dāng)AP與O相切時(shí),∠E′AO(即∠PAO)最大，

此時(shí)∠AE′O=90°,點(diǎn)D′與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大。

過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示。

∵∠AE′O=90°,E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°,AE′=.

∴AP=+1.

∵∠AHP=90°,∠PAH=30°，

∴PH=AP=.

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為.