Question

如圖，平面直角坐標系中，Rt△OAB的OA邊在x軸上，OB邊在y軸上，且OA=2，AB=，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△OCD，已知點E的坐標是（2、2）
（1）求經(jīng)過D、C、E點的拋物線的解析式；
（2）點M（x、y）是拋物線上任意點，當0＜x＜2時，過M作x軸的垂線交直線AC于N，試探究線段MN是否存在最大值，若存在，求出最大值是多少？并求出此時M點的坐標；
（3）P為直線AC上一動點，連接OP，作PF⊥OP交直線AE于F點，是否存在點P，使△PAF是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOB中，已知OA、AB的長，可由勾股定理求得OB的值，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OD=OB、OC=OA，由此可求出D、C的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，可得M、N縱坐標的表達式，進而可得關于MN的長和x的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得MN的最大值及對應的M點坐標．
（3）首先設出點P的橫坐標，根據(jù)直線AC的解析式表示出點P的縱坐標，易求得直線OP的解析式，由于PF⊥OP，那么直線OP、PF的斜率的積為-1，再結(jié)合點P的坐標可得直線PF的解析式，然后將點F的橫坐標代入直線PF的解析式中，即可求得F點的縱坐標（此過程，也可過P作x軸、AE的垂線，由全等三角形來求得）．進而可得PF²、PA²、AF²的表達式，然后分：①PF=PA、②PF=AF、③PA=AF，三種情況，分別列出三個不同的等量關系式，從而求出符合條件的P點坐標．需要注意的是P點橫坐標不能為1和2，因為這兩種情況下，不能構(gòu)成△PAF．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，AB=，OA=2，由勾股定理得：OB=1；
由于△ODC是由△OBA旋轉(zhuǎn)90°所得，
所以OB=OD=1，OA=OC=2，
因此D（-1，0），C（0，2），A（2，0），
∵E（2，2），
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，則有：
，
解得；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+2．

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴直線AC：y=-x+2；
∴M（x，-x²+x+2），N（x，-x+2）；
故MN=-x²+x+2-（-x+2）=-x²+x=-（x-3.5）²+12.25，
因此當x=1，即M（3.5，-1.5）時，MN取最大值，且最大值為12.25．

（3）由于P在直線AC上，
所以設P（a，-a+2）（a≠1且a≠2），
則直線OP：y=x；
由于PF⊥OP，可設直線PF：y=x+h，則有：
×a+h=-a+2，h=-a+2-=，
即直線PF：y=x+；
當x=2時，y==-2a+2；
∴P（a，-a+2），F(xiàn)（2，-2a+2），A（2，0），
∴PF²=（a-2）²+a²，PA²=（2-a）²+（a-2）²=2（a-2）²，AF²=（-2a+2）²，
①當PF=PA時，PF²=PA²，則有：
（a-2）²+a²=2（a-2）²，
解得a=1（不合題意，舍去）；
故此種情況不成立；
②當PF=AF時，PF²=AF²，則有：
（a-2）²+a²=（-2a+2）²，
解得a=0，a=2（舍去），
∴P（0，2）；
③當PA=AF時，PA²=AF²，則有：
2（a-2）²=（-2a+2）²，
解得a=±，
∴P（，2-）或P（-，2+）；
綜上所述，存在符合條件的P點，且坐標為：P₁（0，2），P₂（，2-），P₃（-，2+）．
點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用、勾股定理、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識；（3）題中，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．