Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是BC邊上的中點，DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．

求證：DE=DF．

Answer 1

【考點】等腰三角形的性質；全等三角形的判定與性質．

【專題】證明題．

【分析】D是BC的中點，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點到角兩邊的距離相等，那么DE=DF．

【解答】證明：

證法一：連接AD．

∵AB=AC，點D是BC邊上的中點

∴AD平分∠BAC（三線合一性質），

∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F．

∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．

證法二：在△ABC中，

∵AB=AC

∴∠B=∠C（等邊對等角） …

∵點D是BC邊上的中點

∴BD=DC       …

∵DE、DF分別垂直AB、AC于點E和F

∴∠BED=∠CFD=90°…

在△BED和△CFD中

∵，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF（全等三角形的對應邊相等）．

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定與性質；利用等腰三角形三線合一的性質是解答本題的關鍵．