Question

5．發(fā)現(xiàn)
如圖①，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，當(dāng)∠ACB=90°，∠B=30°，點A′恰好落在AB邊上時，連接AB′．
（1）線段A′B′與AC的位置關(guān)系是平行；
（2）設(shè)△A′BC的面積為S₁，△AB′C的面積為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是相等．
拓展
如圖②，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β，∠BCA=α，若AA′∥CB，則β=180°-2α（用含α的代數(shù)式表示），并求α的取值范圍．
探究
如圖③，將矩形ABCD繞其頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，且點C′落在CD的延長線上．
（1）當(dāng)BC=1，AB=$\sqrt{3}$時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為120°；
（2）若旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜180°），∠BAC=α，則α=90°-$\frac{1}{2}$β（用含β的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)（1）只要證明△ACA′是等邊三角形即可解決問題．
（2）分別證明S_△ACB′=S_△ACA′，S_△A′BC=S_△ACA′，即可．
拓展先證明∠ACB=∠CAA′=∠CA′A=α，在△CAA′利用三角形內(nèi)角和定理即可解決．
探究（1）先證明∠BAC=30°，再在等腰三角形△ACC′根據(jù)內(nèi)角和定理即可解決．
（2）在等腰三角形△ACC′根據(jù)內(nèi)角和定理即可解決．

解答 發(fā)現(xiàn)：
解：（1）如圖①中，在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵CA=CA′，
∴△ACA′是等邊三角形，
∴∠ACA′=∠CA′B′=60°，
∴A′B′∥AC，
故答為平行．
（2）∵A′B′∥AC，
∴S_△ACB′=S_△ACA′，
∵△ACA′是等邊三角形，
∴AA′=AC，
∵AB=2AC，
∴AA′=A′B，
∴S_△A′BC=S_△ACA′，
∴S_△A′BC=S_△ACB，即S₁=S₂．
故答案為相等．
拓展：如圖②中，∵CA=CA′，AA′∥BC，
∴∠ACB=∠CAA′=∠CA′A=α，
∴β+2α=180°，
∴β=180°-2α．（0＜α＜90°）
故答案為180°-2α．
探究：解：（1）如圖③中，連接AC′、AC，
∵BC=1．AB=$\sqrt{3}$，∠B=90°
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵AB∥CC′，
∴∠ACC′=∠BAC=30°，
∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=30°，
∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=120°，
∴旋轉(zhuǎn)角=120°
故答案為120°．
（2）由（1）可知∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2α，
∴β=180°-2α，
∴α=90°-$\frac{1}{2}$β．
故答案為α=90°-$\frac{1}{2}$β．

點評 本題考查四邊形綜合題，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．