Question

4．已知，AB是⊙O的直徑，BC是弦，直線CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，BD⊥CD．

（1）如圖1，求證：BC平分∠ABD；
（2）如圖2，延長DB交⊙O于點(diǎn)E，求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EA并延長至F，使EF=AB，連接CF、CE，若tan∠FCE=$\frac{12}{7}$，BC=5，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，欲證明BC平分∠ABD，只要證明∠CBD=∠CBO，只要證明BD∥OC即可．
（2）如圖2中，連接AE，連接CO并延長交AE于M欲證明$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$，只要證明CM⊥AE即可．
（3）如圖3中，連接AC，連接CO并延長交AE于M，過F作FH⊥CE于H，首先證明△FHE≌△ACB，根據(jù)tan∠FCE=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{12}{7}$，設(shè)FH=12k，CH=7k，列出方程求出k，通過解直角三角形分別求出EF、AE即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC，
∵AB是⊙O直徑，DC是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，
∴∠OCD+∠D=180°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠OBD．
（2）證明：如圖2中，連接AE，連接CO并延長交AE于M．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵CM∥DB，
∴∠AMC=∠AEB=90°，
∴CM⊥AE，
∴∠AMC=∠AEB=90°，
∴CM⊥AE，且CM經(jīng)過圓心O，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$．
（3）解：如圖3中，連接AC，連接CO并延長交AE于M，過F作FH⊥CE于H，
∵FH⊥CE，
∴∠FHE=∠FHC=90°，
由（2）可知∠AMC=90°，
∴∠CME=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠FHE=∠ACB=90°，
∵FH=AB，∠FEH=∠ABC，
∴△FHE≌△ACB，
∴FH=AC，EH=BC，
在RT△FHC中，tan∠FCE=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{12}{7}$，設(shè)FH=12k，CH=7k，
∴FH=AC=12k，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$，
∴CE=AC=12k，
∴EH=BC=5k，
∵BC=5，
∴5k=5，
∴k=1，∴AC=12，
在RT△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，∴AB=EF=13，
在RT△ACB中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，∵∠ABC=∠CBD，
在RT△CBD中，sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{12}{13}$，∴CD=$\frac{60}{13}$，
∵∠AED=∠D=∠ACB=90°，
∴四邊形CMED是矩形，
∴CD=ME=$\frac{60}{13}$，
∴AM=ME，
∴AE=2ME=$\frac{120}{13}$，
∴AF=EF-AE=$\frac{49}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．