Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線l：y=-x-與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與x軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長度的速度沿想x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線l繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，請判斷直線l與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由：

（3）如圖2，過A、O、C三點(diǎn)作⊙O₁，點(diǎn)E是⊙O₁上任意一點(diǎn)，連接EC、EA、EO．
①若點(diǎn)E在劣弧OC上，試說明：EA-EC=EO；
②若點(diǎn)E在優(yōu)弧OAC上，①的結(jié)論中EC、EA、EO的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請你說明理由？若不成立，請你直接寫出正確的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線l：y=-x-與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點(diǎn)，A的縱坐標(biāo)等于0，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0．代入解析式求解即可．
（2）首先根據(jù)題意添加輔助線，畫出⊙B第一次與⊙O相切的位置圖，根據(jù)兩圓相切的位置關(guān)系，求出t，根據(jù)時(shí)間t求出直線l繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)的角度．根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，判定判斷直線l與⊙B的位置關(guān)系．
（3）①由（1）知AC是直徑，先確定三角形OAC為圓內(nèi)接等腰直角三角形； 在AE上截取AM=CE，連接OM；通過邊角邊定理證明△OAM≌△OCE；進(jìn)而可知△OME為等腰直角三角形，最后證明AE-EC=EO
②由（1）知AC是直徑，先確定三角形OAC為圓內(nèi)接等腰直角三角形，在EA的延長線上截取AM=CE，連接OM； 通過邊角邊定理證明△OAM≌△OCE；進(jìn)而可知△OME為等腰直角三角形，最后證明AE+EC=EO
解答：解：（1）∵點(diǎn)A是直線l：y=-x-與坐標(biāo)軸x軸的交點(diǎn)
∴y=0，即0=-x-，解得x=
所以點(diǎn)A（，0），同理點(diǎn)C（0，）
∴OA=OC
∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°

（2）

過B₁做B₁P垂直于l′角l′于點(diǎn)P，連接B₁A，B₁O，B₁N
如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，連接B₁O，B₁N
則MN=t，OB₁=OK+KB₁=，B₁N=1，B₁N⊥AN
∴ON=1，MN=3，即t=3
l繞點(diǎn)A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)了90°，即l與l′相互垂直．
則B₁P⊥AP，∴∠PAB₁=∠NAB₁
由（1）知AO=，∴AO=OB₁
∴∠OAB₁=∠OB₁A
又∵∠B₁ON=45°
∴∠B₁AO=22.5°
∴∠PAB₁=90°-45°-22.5°=22.5°
在Rt△PAB₁與Rt△NAB₁中，∠PAB₁=∠B₁AN，AB₁為公共邊，
所以Rt△PAB₁≌Rt△NAB₁
PB₁=NB₁=1
故直當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線l與⊙B相切

（3）

①由（1）知△OAC為圓內(nèi)接等腰直角三角形，AC為直徑
在AE上截取AM=CE，連接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圓周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME為等腰直角三角形
∴ME=EO
又∵M(jìn)E=AE-AM=AE-EC
∴AE-EC=EO
②

由（1）知三角形OAC為圓內(nèi)接等腰直角三角形，AC為直徑
在EA的延長線上截取AM=CE，連接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（外角等于所對的圓周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME為等腰直角三角形
∴ME=EO
又∵M(jìn)E=AE+AM=AE+EC
∴AE+EC=EO
所以①不成立，正確的結(jié)論是AE+EC=EO
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)系，圓心角、弧度、弦的關(guān)系，三角形等．解決本題的關(guān)鍵首先要根據(jù)題意涉及號(hào)圖形，添加好輔助線；同學(xué)們解決本題需要對圓、全等三角形等幾何核心知識(shí)有深刻的了解．