Question

在△ABC中，∠BAC是銳角，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE．
（1）證明：AH=2BD；
（2）若將∠BAC改為鈍角，其余條件不變，上述的結(jié)論還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）如圖1，由AD與BE為兩條高，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，AE=BE，利用ASA得到三角形AHE與三角形BCE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三線合一得到D為BC中點(diǎn)，即BC=2BD，等量代換即可得證；
（2）若將∠BAC改為鈍角，其余條件不變，上述的結(jié)論還成立，理由為：如圖2，由AD與BE為兩條高，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，AE=BE，利用ASA得到三角形AHE與三角形BCE全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AH=BC，由AB=AC，且AD垂直于BC，利用三線合一得到D為BC中點(diǎn)，即BC=2BD，等量代換即可得證．

解答：（1）證明：如圖1，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH=∠CBE AE=BE ∠AEH=∠BEC=90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
則AH=2BD；
（2）解：若將∠BAC改為鈍角，其余條件不變，上述的結(jié)論還成立，
證明：如圖2，∵AD⊥BC，BE⊥AE，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBE，即∠EAH=∠CBE，
在△AHE和△BCE中，

∠EAH=∠CBE AE=BE ∠AEH=∠BEC=90°

，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC，即BC=2BD，
則AH=2BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．