Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD=BD，∠ADB=∠ACB=90°，AE=2BC．
（1）求證：BC=CD；
（2）求證：AC平分∠BAD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）分別延長(zhǎng)AD和BC，使延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，證△AED≌△BFD，推出AE=BF，求出BC=CF，即可得出答案；
（2）證出△BCA≌△FCA，推出∠3=∠5即可．

解答：證明：（1）分別延長(zhǎng)AD和BC，使延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，
∵在△BCE中，∠BCE=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∵在△ADB中，∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△AED和△BFD中

∠ADE=∠BDF=90° ∠3=∠4 AD=BD

∴△AED≌△BFD（AAS），
∴AE=BF，
又∵AE=2BC，
∴BF=2BC，
∴BC=CF，即點(diǎn)C為BF的中點(diǎn)
∴DC是直△BDF斜邊BF上的中線，
∴BC=CD．

（2）在△BCA和△FCA中，

AC=AC ∠ACB=∠ACF=90° CB=CF

，
∴△BCA≌△FCA（SAS），
∴∠3=∠5，
即AC平分∠BAD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．