Question

已知關于x的方程x²-2kx-2k-4=0．
（1）求證：無論k為何值，方程總有不相等的兩實數(shù)根；
（2）求當k為何值時，方程兩根之差的絕對值等于4．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）先計算△得到△=（-2k）²-4（-2k-4）=4k²+8k+16=4（k+1）²+12，由于4（k+1）²≥0，即△＞0，根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）設方程兩根為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2k-4，由|x₁-x₂|=4變形得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，即可得到關于k的方程（2k）²-4（-2k-4）=16，然后解此方程即可．

解答：（1）證明：∵△=（-2k）²-4（-2k-4）=4k²+8k+16=4（k+1）²+12，
∵4（k+1）²≥0，即△＞0，
∴無論k為何值時，該方程總有不相等的兩實數(shù)根；

（2）解：設方程兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-2k-4，
∵|x₁-x₂|=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴（2k）²-4（-2k-4）=16，
∴k₁=0，k₂=-2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=--

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．