Question

已知，在△ABC中，∠ACB=2∠B．

（1）如圖，當AD為∠BAC的角平分線時，求證:AB=AC+CD

（2）如圖，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并對你的猜想加以證明．

 

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）首先在AB上截取AE=AC，連接DE，可證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易證DE=CD，則可求得AB=AC+CD；

（2）首先在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易證DE=EB，則可求得AC+AB=CD．

試題解析：解：（1）在AB上截取AE=AC，連接DE

AD為∠ABC的角平分線

又 ∴ ≌

∠ACB=2∠B ∴ ∠AEB=2∠B

又 ∠AED=∠B+∠EDB

∴∠B=∠EDB

∴BE=ED,AB=AE+BE=AC+ED=AC+CD.

（2）猜想：AB+AC=CD．

證明：在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED．

AD平分∠FAC，∠EAD=∠CAD．

在△EAD與△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，△EAD≌△CAD．

ED=CD，∠AED=∠ACD．

∠FED=∠ACB．

又∠ACB=2 ∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B．

EB=ED．∴ EA+AB=EB=ED=CD．∴AC十AB=CD．

考點：1.角平分線的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì).