Question

16．如圖，已知拋物線y=ax²+2x+6（a≠0）交x軸與A，B兩點（點A在點B左側），將直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，邊WZ經過拋物線上的點C（4，m），與拋物線的另一交點為點D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得△ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式求出m的值，結合點C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出a值，從而得出結論；
（2）假設存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N．根據(jù)拋物線的解析式找出點A的坐標．設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6）（-2＜n＜4），由點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，代入x=n，即可得出點N的坐標，利用三角形的面積公式即可得出S_△ACP關于n的一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；
（3）根據(jù)直尺的擺放方式可設出直線CD的解析式為y=-x+c，由點C的坐標利用待定系數(shù)法即可得出直線CD的解析式，聯(lián)立直線CD的解析式與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點D的坐標，令直線CD的解析式中y=0，求出x值即可得出點E的坐標，結合線段EF的長度即可找出點F的坐標，設出點M的坐標，結合平行四邊形的性質以及C、D點坐標的坐標即可找出點N的坐標，再由點N在拋物線圖象上，將其代入拋物線解析式即可得出關于時間t的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•y_C=$\frac{1}{2}$×2m=6，
∴m=6，即點C的坐標為（4，6），
將點C（4，6）代入拋物線y=ax²+2x+6（a≠0）中，
得：6=16a+8+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴該拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）假設存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N，如圖1所示．

令拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6中y=0，則有-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6）（-2＜n＜4），
∵直線AC過點A（-2，0）、C（4，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{6=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+2．
∵點P的坐標為（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6），
∴點N的坐標為（n，n+2）．
∵S_△ACP=$\frac{1}{2}$PN•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$n²+2n+6-n-2）×[4-（-2）]=-$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{27}{2}$，
∴當n=1時，S_△ACP取最大值，最大值為$\frac{27}{2}$，
此時點P的坐標為（1，$\frac{15}{2}$）．
∴在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為$\frac{27}{2}$，此時點P的坐標為（1，$\frac{15}{2}$）．
（3）∵直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，
∴設直線CD的解析式為y=-x+c，
∵點C（4，6）在直線CD上，
∴6=-4+c，解得：c=10，
∴直線CD的解析式為y=-x+10．
聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+10}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標為（2，8）．
令直線CD的解析式y(tǒng)=-x+10中y=0，則0=-x+10，
解得：x=10，即點E的坐標為（10，0），
∵EF=2，且點E在點F的左邊，
∴點F的坐標為（12，0）．
①點N在x軸的上方時：
設點M的坐標為（12-2t，0），則點N的坐標為（12-2t-2，0+2），即N（10-2t，2）．

∵點N（10-2t，2）在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的圖象上，
∴-$\frac{1}{2}$（10-2t）²+2（10-2t）+6=2，整理得：t²-8t+13=0，
解得：t₁=4-$\sqrt{3}$，t₂=4+$\sqrt{3}$；
②點N在x軸的下方時：
設點M的坐標為（12-2t，0），則點N的坐標為（12-2t+2，0-2），即N（14-2t，-2）．

∵點N（14-2t，-2）在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的圖象上，
∴-$\frac{1}{2}$（14-2t）²+2（14-2t）+6=-2，整理得：t²-12t+31=0，
解得：t₃=6-$\sqrt{5}$，t₄=6+$\sqrt{5}$；

∴當t為4-$\sqrt{3}$、4+$\sqrt{3}$、6-$\sqrt{5}$或6+$\sqrt{5}$秒時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題考查了三角形的面積公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、解二元二次方程組、平行四邊形的性質以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）求出點C的坐標；（2）利用二次函數(shù)的性質解決最值問題；（3）用時間t表示出來點N的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，聯(lián)立函數(shù)解析式成方程組，解方程組求出交點坐標是關鍵．