Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E，交CA的延長線于點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，EF=$\sqrt{3}$，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先證明OD∥AB，再利用DE⊥AB得到OD⊥DF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）由∠C=30°得到∠AOD=60°，在Rt△ODF中利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=$\frac{1}{2}$OF，則AF=OA=OD，再在Rt△AEF中計算出AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF=1，AF=2AE=2，于是得到BC=AC=2OA=4，然后計算AB-AE即可．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CO=OD，
∴∠C=∠CDO，
∴∠CDO=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DF，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OF，
∴AF=OA=OD，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，
∵EF=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF=1，
∴AF=2AE=2，
∴AC=2OA=4，
∴AB=AC=4，
∴BE=AB-AE=4-1=3．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．