【題目】如果一個四邊形的對角線把四邊形分成兩個三角形,一個是等邊三角形,另一個是該對角線所對的角為的三角形,我們把這條對角線叫做這個四邊形的理想對角線,這個四邊形稱為理想四邊形.
(1)如圖①,在中,,,,為上一點,,為中點,連接,求證:四邊形為理想四邊形;
(2)如圖②,是等邊三角形,若為理想對角線,四邊形為理想四邊形.請畫圖找出符合條件的C點落在怎樣的圖形上;(在圖中標出必要的數(shù)據(jù))
(3)在(2)的條件下,
①若為直角三角形,,求的長度;
②如圖③,若,,,請直接寫出、、之間的數(shù)量關系.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)①或; ②
【解析】
(1)連接CD,過點E作EM⊥AB,易證EM是BD的中垂線,得∠EDB=∠B=30°,從而得∠CED=60°,進而得是等邊三角形,即可得到結論;
(2)作等腰三角形ODB,使得OD=OB,∠DOB=120°,以O為圓心,OD為半徑作⊙O,當點C在弧BCD上時,滿足條件;
(3)①若為直角三角形,分兩種情況討論:(i)當∠BDC=90°時;(ii)當∠DBC=90°時,分別求出答案即可;②將繞點D逆時針旋轉60°,得到,連接EC,過點E作EF⊥BC,交BC的延長線于點F,可得是等邊三角形,用含x,y的代數(shù)式表示EF,CF,進而得到BF的表達式,利用勾股定理,即可得到結論.
(1)連接CD,過點E作EM⊥AB,如圖①,
∵在中,,,,,
∴AB=4,BC=,BD=4-1=3,
∵為中點,
∴BE=,
∵在中,∠B=30°,EM⊥AB,
∴BM=BEcos30°=,
∴DM=BM=,即EM是BD的中垂線,
∴ED=EB=EC,
∴∠EDB=∠B=30°,
∴∠CED=60°,
∴是等邊三角形,
又∵∠A=180°-∠B-∠ACB=60°,
∴四邊形為理想四邊形;
(2)如圖②中,作等腰三角形ODB,使得OD=OB,∠DOB=120°,以O為圓心,OD為半徑作⊙O,當點C在弧BCD上時,∠DCB=∠DOB=60°,滿足條件;
(3)①若為直角三角形,分兩種情況討論:
(i)當∠BDC=90°時,如圖③-1,
∵∠BCD=60°,BC=2,
∴∠DBC=30°,BD=BCcos30°=,
∵是等邊三角形,
∴AB=BD=,∠ABD=60°,
∴∠ABC=90°,
∴;
(ii)當∠DBC=90°時,如圖③-2,
同理可得:∠ADC=90°,DC=4,AD=,
∴.
綜上所述:AC=或;
②將繞點D逆時針旋轉60°,得到,連接EC,過點E作EF⊥BC,交BC的延長線于點F,如圖④,
∴∠CDE=60°,ED=CD,BE=AC=z,
∴是等邊三角形,
∴EC=CD=x,∠DCE=60°,
∵∠BCD=60°,
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°,
∴EF=ECsin60°=,CF= ECcos60°=,
∴BF=BC+CF=y+,
∴BE==,
∴z=,即:.
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【題目】如圖,直線AB經過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直線OB于E,D,連接EC,CD.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)試猜想BC,BD,BE三者之間的等量關系,并加以證明;
(3)若tan∠CED=,⊙O的半徑為3,求OA的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于(x1,0),且﹣1<x1<0,對稱軸x=1.如圖所示,有下列5個結論:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的實數(shù)).其中所有結論正確的是______(填寫番號).
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【題目】為了解某校學生對《最強大腦》、《朗讀者》、《中國詩詞大會》、《出彩中國人》四個電視節(jié)目的喜愛情況,隨杋抽取了名學生進行調查統(tǒng)計(要求每名學生選出并且只能選出一個自己最喜愛的節(jié)目),并將調查結果繪制成如圖統(tǒng)計圖表:
學生最喜愛的節(jié)目人數(shù)統(tǒng)計表
節(jié)目 | 人數(shù)(名) | 百分比 |
最強大腦 | 5 | 10% |
朗讀者 | 15 | |
中國詩詞大會 | 40% | |
出彩中國人 | 10 | 20% |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1) , ;
(2)補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有學生名,估計該校學生最喜愛《朗讀者》節(jié)目的人數(shù).
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【題目】閱讀以下材料:對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.Napier,1550年-1617年),納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)概念建立之前,直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(Euler,1707年-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.對數(shù)的定義:一般地,若,則叫做以為底的對數(shù),記作.比如指數(shù)式可以轉化為,對數(shù)式可以轉化為.我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質:.理由如下:設,,所以,,所以,由對數(shù)的定義得,又因為,所以.解決以下問題:
(1)將指數(shù)轉化為對數(shù)式: .
(2)仿照上面的材料,試證明:
(3)拓展運用:計算 .
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【題目】新交通法規(guī)實施以來,為了解某社區(qū)居民遵守交通法規(guī)情況,小明隨機選取部分居民就“行人闖紅燈現(xiàn)象”進行問卷調查,調查分為“A:從不闖紅燈;B:偶爾闖紅燈;C:經常闖紅燈;D:其他”四種情況,并根據(jù)調查結果繪制出部分條形統(tǒng)計圖(如圖1)和部分扇形統(tǒng)計圖(如圖2).請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)本次調查共選取 名居民;
(2)求出扇形統(tǒng)計圖中“C”所對扇形的圓心角是 度,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)如果該社區(qū)共有居民2600人,估計有多少人從不闖紅燈?(請計算說明)
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(5,)、點B(9,﹣10),與y軸交于點C,點P是直線AC上方拋物線上的一個動點;
(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線BC交于點E,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;
(3)當∠PCB=90°時,作∠PCB的角平分線,交拋物線于點F.
①求點P和點F的坐標;
②在直線CF上是否存在點Q,使得以F、P、Q為頂點的三角形與△BCF相似,若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】我校為了了解九年級學生身體素質測試情況,隨機抽取了本校九年級部分學生的身體素質測試成績?yōu)闃颖,?/span>A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結果繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖,請你結合圖表所給信息解答下列問題:
(1)請在答題卡上直接將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“B”部分所對應的圓心角的度數(shù)是 °;
(3)若我校九年級共有1500名學生參加了身體素質測試,試估計測試成績合格以上(含合格)的人數(shù).
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