Question

5．如圖，直線y=$\frac{3}{4}$x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)M為圓心，MA長為半徑的圓交y軸于另一點(diǎn)C，直線MC與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段BD的中點(diǎn)，射線ME交⊙M于點(diǎn)F，連接OF．
（1）若MA=2，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），求MC的長；
（3）當(dāng)OF=MA時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G．先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求得AB的長，接下來證明△ABO∽△AMG，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AG=1.2，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求得AC的長，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)
（2）過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G．先證明△DOC∽△BOA，從而可求得OC=3，然后由△ABO∽△AMG可求得AM的長，從而得到MC的長；
（3）①過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．先證明△MBD為等腰三角形，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明MF⊥BD，從而得到四邊形FMGH為矩形，然后再證明Rt△MAG≌Rt△FOH，從而得到AG=OH=$\frac{3}{5}$AM，可求得AM的長，由AM的長可求得AG、MG的長，故此可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；②過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．先證明Rt△MAG≌Rt△FOH，于是得到∠MAG=∠FOH，接下來可證明四邊形AOFM是平行四邊形，故此可求得AM=6，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1所示：過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G．

∵將x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+6得y=6，
∴A（0，6）．
∴OA=6．
∵將y=0代入y=$\frac{3}{4}$x+6得$\frac{3}{4}$x+6=0，解得：x=-8，
∴B（-8，0）
∴OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
∵∠KGA=∠BOA=90°，∠MAG=∠BAO，
∴△ABO∽△AMG．
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AO}$，即$\frac{2}{10}=\frac{AG}{6}$，解得：AG=1.2．
∵M(jìn)G⊥AC，AM=MC，
∴AG=CG=1.2．
∴AC=2.4．
∴OC=OA-AC=6-2.4=3.6．
∴C（0，3.6）．
（2）如圖2所示：過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G．

∵∠OCD=∠MCA，∠MCA=∠MAC，
∴∠OCD=∠BAO．
又∵∠BOA=∠DOC，
∴△DOC∽△BOA．
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{4}{8}=\frac{OC}{6}$，解得OC=3．
∵由（1）可知AG=$\frac{1}{2}AC$，
∴AG=$\frac{1}{2}×（OA-OC）$=$\frac{3}{2}$．
∵由（1）可知△ABO∽△AMG，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AO}$，即$\frac{AM}{10}=\frac{\frac{3}{2}}{6}$，解得：AM=$\frac{5}{2}$．
∵M(jìn)C=AM，
∴MC=$\frac{5}{2}$．
（3）①如圖3所示：過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．

∵由（2）可知△DOC∽△BOA，
∴∠MBD=∠MDB．
∴MB=MD．
又∵E是BD的中點(diǎn)，
∴ME⊥BD．
∴四邊形FMGH為矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=OF}\\{MG=HF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴AG=OH=$\frac{3}{5}$AM．
∵AG+GH+OH=6，
∴$\frac{3}{5}$AM+AM+$\frac{3}{5}$AM=6．
解得：AM=$\frac{30}{11}$．
∴AG=$\frac{30}{11}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{11}$，OH=$\frac{3}{5}$AM+AM=$\frac{3}{5}×\frac{30}{11}$+$\frac{30}{11}$=$\frac{48}{11}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{24}{11}$，$\frac{48}{11}$）．
②如圖4所示：過點(diǎn)M作MG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)F作FH⊥AC，垂足為H．

由①可知四邊形MGHF為矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MA=OF}\\{MG=HF}\end{array}\right.$，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴∠MAG=∠FOH．
∴MA∥OF．
又∵M(jìn)F∥AC，
∴四邊形AOFM是平行四邊形．
∴MF=AC=6．
∴AM=6．
∴GM=$6×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AG=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴OG=OA-AG=6-$\frac{18}{5}$=$\frac{12}{5}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{24}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了做坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證得Rt△MAG≌Rt△FOH、△DOC∽△BOA、△ABO∽△AMG是解題的關(guān)鍵．