Question

已知△ACB為等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)E在AC上，EF⊥AC交AB于F，連BE、CF、M、N分別為CF、BE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，則

MN

CE

=

1

2

，并說明理由；
（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45゜，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明．

Answer 1

分析：（1）延長EM，交BC于G，首先證明△CMG≌△FME，由全等三角形的性質(zhì)可得：MG=ME，CG=EF，所以MN

1

2

=BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

CE，即

MN

CE

=

1

2

，
（2）將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45゜，（1）中的結(jié)論仍舊成立，取CE中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG，通過證明△MNG∽△ECA，即可得到問題答案．

解答：解：（1）如圖1，延長EM，交BC于G，
∵FE⊥BC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
∴∠MCG=∠MFE，∠MGC=∠MEF，
又∵CM=FM，
∴△CMG≌△FME，
∴MG=ME，CG=EF，
又∵BN=EN，
∴NM=

1

2

BG，
∵∠EFA=∠A=45°，
∴AE=EF=CG，
又∵BC=AB，
∴MN

1

2

=BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

CE，
即

MN

CE

=

1

2

，
故答案為

1

2

；

（2）將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45゜，（1）中的結(jié)論仍舊成立，
理由如下：
取CE中點(diǎn)G，連結(jié)MG、NG，
則MG=

1

2

EF=

1

2

AE，NG=

1

2

BC=

1

2

AC，
∵EF與BC所成角為45°，MG∥EF，
∴MG與BC所成角為45°，又∵NG∥BC，
∴∠NGM=45°=∠BAC，
又∵

MG

AE

=

NG

AC

=

1

2

，
∴△MNG∽△ECA，
∴

MN

CE

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不�。�