Question

如圖，是一個(gè)活動(dòng)衣架，固定位置后，呈現(xiàn)給大家的是兩個(gè)菱形，連接其中一個(gè)菱形四條邊的中點(diǎn)，可得到一個(gè)矩形．
聯(lián)想學(xué)過(guò)的四邊形知識(shí)，試探究：
（1）一個(gè)任意四邊形的各邊中點(diǎn)連線組成的四邊形（中點(diǎn)四邊形）是什么圖形？
（2）如果原四邊形是特殊四邊形（矩形、菱形或正方形），那么中點(diǎn)四邊形是什么圖形？
（3）如果中點(diǎn)四邊形是特殊四邊形（矩形、菱形或正方形），那么原四邊形又是什么圖形？

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,菱形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的定義來(lái)判定平行四邊形；
（2）根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定方法來(lái)判定；
（3）由題目中圖形給出的對(duì)角線垂直，對(duì)角線相等等條件來(lái)判定四邊形．

解答：（1）一個(gè)任意四邊形的各邊中點(diǎn)連線組成的四邊形（中點(diǎn)四邊形）是平行四邊形．
證明：在任意四邊形中，作出2條對(duì)角線，則中位線中相對(duì)的兩條與對(duì)應(yīng)的中位線平行，且長(zhǎng)度均為對(duì)角線的

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，所以任意四邊形的各邊中點(diǎn)連線組成的四邊形中，對(duì)邊相等且平行，由此可以證明中點(diǎn)四邊形為平行四邊形．

（2）如果原四邊形為矩形，則形成的中點(diǎn)四邊形為菱形；
如果原四邊形為菱形，則形成的中點(diǎn)四邊形為矩形；
如果原四邊形為正方形，則形成的中點(diǎn)四邊形為正方形．
證明：原四邊形為矩形，則其對(duì)角線長(zhǎng)度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的四條邊相等，可以證明中點(diǎn)四邊形為菱形；
原四邊形為菱形，則其對(duì)角線互相垂直，再根據(jù)（1）的證明可知，中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的對(duì)邊垂直，可以證明中點(diǎn)四邊形為矩形；
原四邊形為正方形，則其對(duì)角線互相垂直，且對(duì)角線長(zhǎng)度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點(diǎn)四邊形為平行四邊形，所以中點(diǎn)平行四邊形的四條邊相等且對(duì)邊垂直，可以證明中點(diǎn)四邊形為正方形．

（3）如果中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形為菱形；
如果中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形為矩形；
如果中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形為正方形．
證明：如果中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形對(duì)角線互相垂直，且對(duì)邊平行，可以證明原四邊形為菱形；
如果中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形鄰邊互相垂直，且對(duì)邊平行，可以證明原四邊形為矩形；
如果中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形對(duì)角線互相垂直且鄰邊垂直，對(duì)邊平行，可以證明原四邊形為正方形．

點(diǎn)評(píng)：考查平行四邊形的定義，以及定義判定方法判定平行四邊形，矩形，菱形，正方形的實(shí)際應(yīng)用．