Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx+4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．E（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)互相垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的積互為負(fù)倒數(shù)，可得EF的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得K點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得KN的長(zhǎng)，根據(jù)圖形割補(bǔ)法，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+4=0}\\{4a+2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，$\frac{9}{2}$）；
（2）如圖：

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得k=-2，b=4．
BC的解析式為y=-2x+4．
由EF⊥BC，得EF的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入，得$\frac{1}{2}$+b=2，解得b=$\frac{3}{2}$，
EF的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
過K作x軸的垂線交EF于N，設(shè)K（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），N（（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），x_F＜t＜x_E，
則KN=y_K-y_N=--$\frac{1}{2}$t²-t+4-（$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{5}{2}$，
所以S_△EFK=S_△KFN+S_△KNE=$\frac{1}{2}$KN（t+3）+$\frac{1}{2}$KN（1-t）=2KN=-t²-3t+5=-（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{29}{4}$，
即當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為$\frac{29}{4}$，此時(shí)K（-$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$），
當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到（-$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$）時(shí)，△EFK的面積最大，最大面積為$\frac{29}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用配方法得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；利用互相垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的互為負(fù)倒數(shù)得出EF的解析式是解題關(guān)鍵，又利用了圖形割補(bǔ)法得出二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)．