Question

已知：直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，過(guò)C作CD⊥x軸于D．求：
（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）AD的長(zhǎng)；
（3）過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，令y=0求出x的值即為A的橫坐標(biāo)，令x=0求出y的值即為B的縱坐標(biāo)，寫(xiě)出兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）由三角形ABC為等腰直角三角形，可得AB=AC，∠BAC=90°，根據(jù)平角定義可得∠BAO與∠CAD互余，由直角三角形的兩銳角互余可得∠BAO與∠ABO互余，根據(jù)等角的余角相等可得∠CAD與∠ABO相等，再由一對(duì)直角相等，利用AAS可得出三角形AOB與三角形ACD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=OB，由B的坐標(biāo)得出OB的長(zhǎng)，即為AD的長(zhǎng)；
（3）由三角形AOB與三角形ACD全等，得到CD=OA，由A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng)，即為CD的長(zhǎng)，即為C的縱坐標(biāo)，由OA+AD得出C的橫坐標(biāo)，確定出C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A，B及C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a，b及c的三元一次方程組，求出方程組的解集得到a，b及c的值，即可確定出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）分三種情況考慮：當(dāng)B為等腰三角形BCP的頂角頂點(diǎn)時(shí)，以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于兩點(diǎn)，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，即為BP的長(zhǎng)，在直角三角形BOP中，根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)，即可確定出P的坐標(biāo)；當(dāng)C為等腰直角三角形BCP頂角頂點(diǎn)時(shí)，B，C，P在同一條直線上，不合題意；當(dāng)P為等腰三角形頂角頂點(diǎn)時(shí)，P為線段BC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)P與A重合，由A的坐標(biāo)得到此時(shí)P的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，
令y=0得-2x+2=0，解得：x=1；
令x=0，解得y=2，
∴A（1，0），B（0，2）；…（2分）

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB=∠CDA=90° ∠ABO=∠CAD AB=AC

，
∵△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2；…（4分）

（3）∵△ABO≌△CAD，
∴OA=CD=1，AD=OB=2，
∴OD=3，
∴C（3，1），…（5分）
設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

a+b+c=0 c=2 9a+3b+c=1

，
解得

a= 5 6 b=- 17 6 c=2

，
∴y=

5

6

x2-

17

6

x+2；…（7分）

（4）存在3個(gè)點(diǎn)使△BCP為等腰三角形，
①當(dāng)B為頂點(diǎn)，BC=BP時(shí)，如圖所示：

在直角三角形AOB中，OA=1，OB=2，
根據(jù)勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴AC=AB=

5

，又△ABC為等腰直角三角形，
∴BP=BC=

10

，
在直角三角形OBP₁中，OP₁=

BP12-OB2

=

6

，
同理OP₂=

6

，
則P₁（-

6

，0），P₂（

6

，0）；
②當(dāng)C為頂點(diǎn)，CB=CP時(shí)，P₃（6，0），
此時(shí)B、C、P 在同一直線上，P₃舍去；
③當(dāng)P為頂點(diǎn)，PA=PB時(shí)，P₄為線段BC垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，
又∵AB=AC，此時(shí)P₄與A重合，
則P₄（1，0），
綜上，滿足題意的坐標(biāo)為P₁（-

6

，0），P₂（

6

，0），P₃（1，0）．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題．