Question

如圖，兩個同心圓的圓心為O，矩形ABCD的邊AB為大圓的弦，邊DC與小圓相切于點E，連接OE并延長交AB于點F．已知OA=4，AF=2．
（1）求AB的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)得到OE⊥DC．結(jié)合矩形的對邊相互平行和平行線的性質(zhì)推知OF⊥AB，則根據(jù)垂徑定理求得AB=2AF；
（2）連接OB．結(jié)合圖形知：S_陰影=S_扇形OAB-S_△OAB．

解答：解：（1）∵DC切小圓O于點E，
∴OE⊥DC．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴DC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴AB=2AF=4；

（2）連接OB．則OA=OB=AB=4．
∴∠AOB=60°，
在Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=2

3

∴S_△OAB=

1

2

×AB×OF=4

3

．
∵S_扇形OAB=

60×π×22

360

=

2

3

π，
∴S_陰影=S_扇形OAB-S_△OAB=

2

3

π-2

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)和扇形面積的計算．根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答（2）題的關(guān)鍵．