Question

【題目】在ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，過BC邊上的動點E（不與點B，C重合）作直線AB的垂線，EF與DC的延長線相交于點G．

（1）如圖①，當點E與點M重合時，求EF的長；
（2）如圖②，當點E為BC的中點時，連結DE，DF，求△DEF的面積；
（3）當點E在BC上運動時，△BEF與△CEG的周長之間有何關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵AB=5，AM=4，AM⊥BC，

∴BM= = =3，

∵S△ABM= AMBM= ABEF，

∴EF= = = ．

（2）

解：如圖②，

∵E為BC中點，BC=10，

∴BE=CE=5，

∴AB=BE=5，

∵EF⊥AB，AM⊥BC，

∴∠AMB=∠EFB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△ABM≌△EBF，

∴EF=AM=4，BF=BM=3，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DG，

∴FG⊥DG，∠B=∠ECG，

∵∠BFE=∠G=90°，

∴△BEF≌△CEG，

∴CG=BF=3，EF=EG=4，

∴DG=CD+CG=5+3=8，

∴S△DEF= EFDG= ×4×8=16；

（3）

解：圖③，

過點C作CH⊥AB，垂足為H，

∴HC⊥DG，

∴四邊形HFGC為矩形，

∴HC=FG=8，CG=FH，

∴BH= = =6，

∵△BFE和△CEG的周長之和為：BE+EF+BF+EC+CG+EG，

=BC+FG+BH，

=10+8+6，

=24，

∴△BEE與△CEG的周長之和為定值24．

【解析】（1）先由勾股定理求BM的長，再利用面積法求EF；（2）要想求△DEF的面積，需要求底邊EF和高DG的長，先證明△ABM≌△EBF，得EF=AM=4，再證明FG⊥DG，證明△BEF≌△CEG，得CG=3，求出DG=8，代入面積公式可以求△DEF的面積；（3）過點C作CH⊥AB，垂足為H，利用勾股定理求BH的長，寫出△BEF與△CEG的周長之和，發(fā)現(xiàn)：EF+EG=FG=8，BF+CG=BH=6，從而求出面積和為24，是定值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高．